Решение задачи по статистике: Дискретный ряд и полигон частот

Решение задач по статистике. Часть 1. Дискретный статистический ряд (первая таблица). 1. Построение полигона частот. Для построения полигона на оси абсцисс (OX) откладываются значения вариантов \(x_i\), а на оси ординат (OY) — соответствующие им частоты \(n_i\). Полученные точки \((1; 4), (2; 10), (3; 19), (4; 19), (5; 20), (6; 13), (7; 11), (8; 4)\) соединяются отрезками. 2. Вычисление статистических характеристик. Выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum x_i n_i = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 19 + 4 \cdot 19 + 5 \cdot 20 + 6 \cdot 13 + 7 \cdot 11 + 8 \cdot 4}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{4 + 20 + 57 + 76 + 100 + 78 + 77 + 32}{100} = \frac{444}{100} = 4,44 \] Выборочная дисперсия: \[ D_b = \frac{\sum x_i^2 n_i}{N} - (\bar{x})^2 \] \[ \sum x_i^2 n_i = 1^2 \cdot 4 + 2^2 \cdot 10 + 3^2 \cdot 19 + 4^2 \cdot 19 + 5^2 \cdot 20 + 6^2 \cdot 13 + 7^2 \cdot 11 + 8^2 \cdot 4 \] \[ = 4 + 40 + 171 + 304 + 500 + 468 + 539 + 256 = 2282 \] \[ D_b = \frac{2282}{100} - (4,44)^2 = 22,82 - 19,7136 = 3,1064 \] Среднеквадратическое отклонение: \[ \sigma = \sqrt{D_b} = \sqrt{3,1064} \approx 1,76 \] Мода \(M_o = 5\) (значение с наибольшей частотой 20). Медиана \(M_e = 4,5\) (среднее между 50-м и 51-м значениями, которые попадают на варианты 4 и 5). Часть 2. Интервальный статистический ряд (вторая таблица). 1. Построение гистограммы. На оси OX откладываются интервалы. Высота прямоугольников равна плотности частоты \(n_i / h\), где \(h = 15\). 2. Вычисление характеристик. Найдем середины интервалов \(x_i^*\): 7,5; 22,5; 37,5; 52,5; 67,5; 82,5; 97,5; 112,5. Выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{7,5 \cdot 3 + 22,5 \cdot 10 + 37,5 \cdot 15 + 52,5 \cdot 25 + 67,5 \cdot 26 + 82,5 \cdot 17 + 97,5 \cdot 6 + 112,5 \cdot 8}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{22,5 + 225 + 562,5 + 1312,5 + 1755 + 1402,5 + 585 + 900}{100} = \frac{6765}{100} = 67,65 \] Часть 3. Дискретный ряд (третья таблица). 1. Выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{2 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 6 \cdot 15 + 8 \cdot 23 + 10 \cdot 22 + 12 \cdot 11 + 14 \cdot 9 + 16 \cdot 6}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{12 + 32 + 90 + 184 + 220 + 132 + 126 + 96}{100} = \frac{892}{100} = 8,92 \] 2. Дисперсия: \[ \sum x_i^2 n_i = 4 \cdot 6 + 16 \cdot 8 + 36 \cdot 15 + 64 \cdot 23 + 100 \cdot 22 + 144 \cdot 11 + 196 \cdot 9 + 256 \cdot 6 \] \[ = 24 + 128 + 540 + 1472 + 2200 + 1584 + 1764 + 1536 = 9248 \] \[ D_b = \frac{9248}{100} - (8,92)^2 = 92,48 - 79,5664 = 12,9136 \] \[ \sigma = \sqrt{12,9136} \approx 3,59 \] Часть 4. Интервальный ряд (четвертая таблица). Примечание: в таблице опечатка, третий интервал должен быть 30-35. Шаг \(h = 5\). Середины интервалов \(x_i^*\): 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5; 47,5; 52,5; 57,5. Выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{22,5 \cdot 3 + 27,5 \cdot 9 + 32,5 \cdot 20 + 37,5 \cdot 23 + 42,5 \cdot 27 + 47,5 \cdot 15 + 52,5 \cdot 8 + 57,5 \cdot 5}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{67,5 + 247,5 + 650 + 862,5 + 1147,5 + 712,5 + 420 + 287,5}{100} = \frac{4395}{100} = 43,95 \]