Решение задачи по статистике: Выборочное среднее и дисперсия

Решение задач по статистике. Задача 1. Дано: интервальный ряд, \(N = 100\). Длина интервала \(h = 10\). 1. Для вычислений найдем середины интервалов \(x_i\): 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85. 2. Вычислим выборочное среднее \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{1}{N} \sum x_i n_i = \frac{15 \cdot 5 + 25 \cdot 9 + 35 \cdot 18 + 45 \cdot 20 + 55 \cdot 20 + 65 \cdot 13 + 75 \cdot 9 + 85 \cdot 6}{100}\] \[\bar{x} = \frac{75 + 225 + 630 + 900 + 1100 + 845 + 675 + 510}{100} = \frac{4960}{100} = 49,6\] 3. Вычислим выборочную дисперсию \(D_b\): \[D_b = \frac{1}{N} \sum x_i^2 n_i - (\bar{x})^2\] \[\sum x_i^2 n_i = 15^2 \cdot 5 + 25^2 \cdot 9 + 35^2 \cdot 18 + 45^2 \cdot 20 + 55^2 \cdot 20 + 65^2 \cdot 13 + 75^2 \cdot 9 + 85^2 \cdot 6 = 277100\] \[D_b = \frac{277100}{100} - (49,6)^2 = 2771 - 2460,16 = 310,84\] 4. Среднеквадратическое отклонение \(\sigma\): \[\sigma = \sqrt{D_b} = \sqrt{310,84} \approx 17,63\] Гистограмма строится как ступенчатая фигура, где по оси OX откладываются интервалы, а по оси OY — плотность частоты \(n_i / h\). Высоты прямоугольников: 0.5; 0.9; 1.8; 2.0; 2.0; 1.3; 0.9; 0.6. Задача 2. Дано: дискретный ряд, \(N = 100\). 1. Выборочное среднее \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{10 \cdot 3 + 20 \cdot 11 + 30 \cdot 17 + 40 \cdot 21 + 50 \cdot 22 + 60 \cdot 11 + 70 \cdot 9 + 80 \cdot 6}{100}\] \[\bar{x} = \frac{30 + 220 + 510 + 840 + 1100 + 660 + 630 + 480}{100} = \frac{4470}{100} = 44,7\] 2. Выборочная дисперсия \(D_b\): \[\sum x_i^2 n_i = 10^2 \cdot 3 + 20^2 \cdot 11 + 30^2 \cdot 17 + 40^2 \cdot 21 + 50^2 \cdot 22 + 60^2 \cdot 11 + 70^2 \cdot 9 + 80^2 \cdot 6 = 231900\] \[D_b = \frac{231900}{100} - (44,7)^2 = 2319 - 1998,09 = 320,91\] 3. Среднеквадратическое отклонение \(\sigma\): \[\sigma = \sqrt{320,91} \approx 17,91\] Полигон частот строится путем соединения точек с координатами \((x_i, n_i)\): (10, 3), (20, 11), (30, 17), (40, 21), (50, 22), (60, 11), (70, 9), (80, 6). Задача 3. Дано: интервальный ряд, \(N = 100\). Длина интервала \(h = 5\). 1. Середины интервалов \(x_i\): 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, 37.5, 42.5, 47.5. 2. Выборочное среднее \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{12.5 \cdot 5 + 17.5 \cdot 8 + 22.5 \cdot 19 + 27.5 \cdot 21 + 32.5 \cdot 29 + 37.5 \cdot 14 + 42.5 \cdot 9 + 47.5 \cdot 5}{100}\] \[\bar{x} = \frac{62.5 + 140 + 427.5 + 577.5 + 942.5 + 525 + 382.5 + 237.5}{100} = \frac{3295}{100} = 32,95\] 3. Выборочная дисперсия \(D_b\): \[\sum x_i^2 n_i = 12.5^2 \cdot 5 + 17.5^2 \cdot 8 + 22.5^2 \cdot 19 + 27.5^2 \cdot 21 + 32.5^2 \cdot 29 + 37.5^2 \cdot 14 + 42.5^2 \cdot 9 + 47.5^2 \cdot 5 = 116150\] \[D_b = \frac{116150}{100} - (32,95)^2 = 1161,5 - 1085,7025 = 75,7975\] 4. Среднеквадратическое отклонение \(\sigma\): \[\sigma = \sqrt{75,7975} \approx 8,71\] Гистограмма: высоты прямоугольников \(n_i / h\): 1.0; 1.6; 3.8; 4.2; 5.8; 2.8; 1.8; 1.0.