Решение задачи №4, вариант 3

Вот решения всех заданий. Задание № 4 Вариант 3 Задание 1. В мешке 12 шаров: 7 белых и 5 чёрных. Случайно вынимают 5 шаров. Найти закон распределения числа чёрных шаров в выборке. Решение: Пусть \(X\) — число чёрных шаров в выборке. Общее количество шаров в мешке \(N = 12\). Количество белых шаров \(N_б = 7\). Количество чёрных шаров \(N_ч = 5\). Количество вынимаемых шаров \(k = 5\). Число чёрных шаров \(X\) может принимать значения от 0 до 5. Однако, поскольку всего чёрных шаров 5, а вынимается 5 шаров, то максимальное количество чёрных шаров в выборке не может превышать 5. Также, если вынимается 5 шаров, а белых шаров 7, то минимальное количество чёрных шаров в выборке не может быть меньше \(5 - 7 = -2\), но количество шаров не может быть отрицательным, поэтому минимальное количество чёрных шаров в выборке равно 0. Таким образом, \(X\) может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Закон распределения числа чёрных шаров в выборке описывается гипергеометрическим распределением. Вероятность того, что в выборке будет ровно \(x\) чёрных шаров, вычисляется по формуле: \[P(X=x) = \frac{C_{N_ч}^x \cdot C_{N_б}^{k-x}}{C_N^k}\] где \(C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\) — число сочетаний из \(n\) по \(m\). Вычислим общее количество способов вынуть 5 шаров из 12: \[C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 9 \cdot 8 = 792\] Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения \(x\): Для \(x=0\) (0 чёрных, 5 белых): \[P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_7^5}{C_{12}^5} = \frac{1 \cdot \frac{7!}{5!2!}}{792} = \frac{1 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1}}{792} = \frac{21}{792} \approx 0,0265\] Для \(x=1\) (1 чёрный, 4 белых): \[P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_7^4}{C_{12}^5} = \frac{5 \cdot \frac{7!}{4!3!}}{792} = \frac{5 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{792} = \frac{5 \cdot 35}{792} = \frac{175}{792} \approx 0,2210\] Для \(x=2\) (2 чёрных, 3 белых): \[P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_7^3}{C_{12}^5} = \frac{\frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{7!}{3!4!}}{792} = \frac{10 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{792} = \frac{10 \cdot 35}{792} = \frac{350}{792} \approx 0,4419\] Для \(x=3\) (3 чёрных, 2 белых): \[P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_7^2}{C_{12}^5} = \frac{\frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{7!}{2!5!}}{792} = \frac{10 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1}}{792} = \frac{10 \cdot 21}{792} = \frac{210}{792} \approx 0,2652\] Для \(x=4\) (4 чёрных, 1 белый): \[P(X=4) = \frac{C_5^4 \cdot C_7^1}{C_{12}^5} = \frac{5 \cdot 7}{792} = \frac{35}{792} \approx 0,0442\] Для \(x=5\) (5 чёрных, 0 белых): \[P(X=5) = \frac{C_5^5 \cdot C_7^0}{C_{12}^5} = \frac{1 \cdot 1}{792} = \frac{1}{792} \approx 0,0013\] Проверим сумму вероятностей: \(0,0265 + 0,2210 + 0,4419 + 0,2652 + 0,0442 + 0,0013 = 1,0001\) (небольшое расхождение из-за округлений). Закон распределения числа чёрных шаров в выборке:

\(X\)	0	1	2	3	4	5
\(P(X)\)	\(21/792\)	\(175/792\)	\(350/792\)	\(210/792\)	\(35/792\)	\(1/792\)

Задание 2. По предыдущему заданию 1 найти функцию распределения дискретной случайной величины \(X\). Определить вероятность того, что шаров в выборке будет от 2 до 3. Решение: Функция распределения \(F(x)\) дискретной случайной величины \(X\) определяется как \(F(x) = P(X \le x)\). Используем вероятности, найденные в Задании 1. Для \(x < 0\): \(F(x) = 0\) Для \(0 \le x < 1\): \(F(x) = P(X=0) = 21/792\) Для \(1 \le x < 2\): \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) = 21/792 + 175/792 = 196/792\) Для \(2 \le x < 3\): \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 196/792 + 350/792 = 546/792\) Для \(3 \le x < 4\): \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 546/792 + 210/792 = 756/792\) Для \(4 \le x < 5\): \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 756/792 + 35/792 = 791/792\) Для \(x \ge 5\): \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 791/792 + 1/792 = 792/792 = 1\) Функция распределения \(F(x)\): \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 21/792, & 0 \le x < 1 \\ 196/792, & 1 \le x < 2 \\ 546/792, & 2 \le x < 3 \\ 756/792, & 3 \le x < 4 \\ 791/792, & 4 \le x < 5 \\ 1, & x \ge 5 \end{cases} \] Определить вероятность того, что шаров в выборке будет от 2 до 3. Это означает \(P(2 \le X \le 3)\). \[P(2 \le X \le 3) = P(X=2) + P(X=3)\] Используя значения из Задания 1: \[P(2 \le X \le 3) = \frac{350}{792} + \frac{210}{792} = \frac{560}{792}\] Сократим дробь: \[\frac{560}{792} = \frac{280}{396} = \frac{140}{198} = \frac{70}{99}\] \[\frac{70}{99} \approx 0,7071\] Ответ: Вероятность того, что шаров в выборке будет от 2 до 3, равна \(70/99\). Задание 3. Функция распределения \(X\) задана формулой: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ d(x+1)^2, & -1 \le x \le 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \] Найти \(d\), построить график и вычислить \(P(-0,5 < X < 0,5)\). Решение: 1. Найти \(d\). Функция распределения должна удовлетворять следующим свойствам: а) \(F(x)\) является неубывающей функцией. б) \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\). в) \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\). г) \(F(x)\) непрерывна справа. Из условия \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\), мы знаем, что \(F(x) = 1\) для \(x > 1\). Также, функция распределения должна быть непрерывна в точках перехода. Рассмотрим точку \(x=1\). \[\lim_{x \to 1^-} F(x) = F(1) = d(1+1)^2 = d(2)^2 = 4d\] \[\lim_{x \to 1^+} F(x) = 1\] Для непрерывности в точке \(x=1\), должно быть \(4d = 1\). Отсюда, \(d = 1/4\). Проверим непрерывность в точке \(x=-1\): \[\lim_{x \to -1^-} F(x) = 0\] \[F(-1) = d(-1+1)^2 = d(0)^2 = 0\] Значит, функция непрерывна в точке \(x=-1\) при любом \(d\). Итак, \(d = 1/4\). Функция распределения имеет вид: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{4}(x+1)^2, & -1 \le x \le 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \] 2. Построить график. График функции \(F(x)\) состоит из трёх частей: - Горизонтальная линия \(y=0\) для \(x < -1\). - Парабола \(y = \frac{1}{4}(x+1)^2\) для \(-1 \le x \le 1\). Эта парабола имеет вершину в точке \((-1, 0)\). - При \(x=-1\), \(F(-1) = \frac{1}{4}(-1+1)^2 = 0\). - При \(x=0\), \(F(0) = \frac{1}{4}(0+1)^2 = \frac{1}{4}\). - При \(x=1\), \(F(1) = \frac{1}{4}(1+1)^2 = \frac{1}{4}(2)^2 = 1\). - Горизонтальная линия \(y=1\) для \(x > 1\). (Здесь я не могу нарисовать график, но могу описать его.) График начинается с 0 на \((-\infty, -1)\), затем плавно поднимается по параболической кривой от 0 до 1 на отрезке \([-1, 1]\), и затем остается на уровне 1 на \((1, +\infty)\). 3. Вычислить \(P(-0,5 < X < 0,5)\). Для непрерывной случайной величины вероятность \(P(a < X < b)\) вычисляется как \(F(b) - F(a)\). \[P(-0,5 < X < 0,5) = F(0,5) - F(-0,5)\] Используем формулу \(F(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2\) для \(-1 \le x \le 1\). \[F(0,5) = \frac{1}{4}(0,5+1)^2 = \frac{1}{4}(1,5)^2 = \frac{1}{4}(2,25) = 0,5625\] \[F(-0,5) = \frac{1}{4}(-0,5+1)^2 = \frac{1}{4}(0,5)^2 = \frac{1}{4}(0,25) = 0,0625\] \[P(-0,5 < X < 0,5) = 0,5625 - 0,0625 = 0,5\] Ответ: \(d = 1/4\), \(P(-0,5 < X < 0,5) = 0,5\). Задание 4. Инвестор покупает акции компании за 20 условных денежных единиц за акцию и планирует хранить их в течение одного года. Пусть \(X\) — цена одной акции через год. Распределение цены акции:

Цена акции через год (X)	18	19	20	21	22
Вероятность P(X)	0,15	0,25	0,30	0,20	0,10

Необходимо: 1. Проверить корректность распределения вероятностей. 2. Найти математическое ожидание цены акции через один год. 3. Определить средний ожидаемый выигрыш и процент возврата инвестиций. 4. Вычислить дисперсию и стандартное отклонение. 5. Сравнить с другой акцией с тем же математическим ожиданием, но дисперсией 3,2. Решение: 1. Проверить корректность распределения вероятностей. Для корректности распределения вероятностей должны выполняться два условия: а) Все вероятности должны быть неотрицательными: \(P(X=x_i) \ge 0\) для всех \(i\). Из таблицы видно, что все вероятности \(0,15; 0,25; 0,30; 0,20; 0,10\) больше или равны 0. Это условие выполняется. б) Сумма всех вероятностей должна быть равна 1: \(\sum P(X=x_i) = 1\). \[0,15 + 0,25 + 0,30 + 0,20 + 0,10 = 0,40 + 0,30 + 0,20 + 0,10 = 0,70 + 0,20 + 0,10 = 0,90 + 0,10 = 1,00\] Сумма вероятностей равна 1. Это условие выполняется. Распределение вероятностей корректно. 2. Найти математическое ожидание цены акции через один год. Математическое ожидание \(E(X)\) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле: \[E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\] \[E(X) = 18 \cdot 0,15 + 19 \cdot 0,25 + 20 \cdot 0,30 + 21 \cdot 0,20 + 22 \cdot 0,10\] \[E(X) = 2,70 + 4,75 + 6,00 + 4,20 + 2,20\] \[E(X) = 19,85\] Математическое ожидание цены акции через год составляет 19,85 условных денежных единиц. 3. Определить средний ожидаемый выигрыш и процент возврата инвестиций. Цена покупки акции \(C_0 = 20\) условных денежных единиц. Ожидаемая цена акции через год \(E(X) = 19,85\). Средний ожидаемый выигрыш (или убыток) на одну акцию: \[Выигрыш = E(X) - C_0\] \[Выигрыш = 19,85 - 20 = -0,15\] Средний ожидаемый выигрыш составляет -0,15 условных денежных единиц. Это означает, что в среднем инвестор ожидает убыток в 0,15 единиц на акцию. Процент возврата инвестиций (ROI - Return on Investment): \[Процент\ возврата = \frac{E(X) - C_0}{C_0} \cdot 100\%\] \[Процент\ возврата = \frac{19,85 - 20}{20} \cdot 100\% = \frac{-0,15}{20} \cdot 100\%\] \[Процент\ возврата = -0,0075 \cdot 100\% = -0,75\%\] Ожидаемый процент возврата инвестиций составляет -0,75%. 4. Вычислить дисперсию и стандартное отклонение. Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле: \[D(X) = E(X^2) - (E(X))^2\] Сначала найдем \(E(X^2)\): \[E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)\] \[E(X^2) = 18^2 \cdot 0,15 + 19^2 \cdot 0,25 + 20^2 \cdot 0,30 + 21^2 \cdot 0,20 + 22^2 \cdot 0,10\] \[E(X^2) = 324 \cdot 0,15 + 361 \cdot 0,25 + 400 \cdot 0,30 + 441 \cdot 0,20 + 484 \cdot 0,10\] \[E(X^2) = 48,60 + 90,25 + 120,00 + 88,20 + 48,40\] \[E(X^2) = 395,45\] Теперь вычислим дисперсию: \[D(X) = 395,45 - (19,85)^2\] \[D(X) = 395,45 - 394,0225\] \[D(X) = 1,4275\] Стандартное отклонение \(\sigma(X)\) — это квадратный корень из дисперсии: \[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\] \[\sigma(X) = \sqrt{1,4275} \approx 1,1948\] Дисперсия составляет 1,4275, а стандартное отклонение примерно 1,1948. 5. Сравнить с другой акцией с тем же математическим ожиданием, но дисперсией 3,2. Для нашей акции: Математическое ожидание \(E(X) = 19,85\) Дисперсия \(D(X) = 1,4275\) Стандартное отклонение \(\sigma(X) \approx 1,1948\) Для другой акции: Математическое ожидание \(E(Y) = 19,85\) (то же самое) Дисперсия \(D(Y) = 3,2\) Стандартное отклонение \(\sigma(Y) = \sqrt{3,2} \approx 1,7889\) Сравнение: Обе акции имеют одинаковое математическое ожидание, что означает, что средний ожидаемый доход от обеих акций одинаков. Однако, дисперсия и стандартное отклонение у другой акции значительно выше (\(3,2\) против \(1,4275\)). Дисперсия и стандартное отклонение являются мерами риска или волатильности. Чем выше дисперсия, тем больше разброс возможных значений случайной величины относительно её математического ожидания, и, следовательно, выше риск. Вывод: Наша акция имеет меньшую дисперсию (1,4275) и меньшее стандартное отклонение (1,1948) по сравнению с другой акцией (дисперсия 3,2, стандартное отклонение 1,7889). Это означает, что наша акция менее рискованна, чем другая акция, при одинаковом ожидаемом доходе. Для инвестора, который не склонен к риску, наша акция будет предпочтительнее. Если инвестор готов принять больший риск ради потенциально более высоких (или низких) отклонений от среднего, то другая акция может быть рассмотрена.