Решение уравнения: 64 * 2^(√(x-1)) = 4^(√(x-1))

Хорошо, давайте решим все задания по порядку. Вариант 1 1. Решить уравнение: \(64 \cdot 2^{\sqrt{x-1}} = 4^{\sqrt{x-1}}\) Решение: Сначала преобразуем все числа к основанию 2. \(64 = 2^6\) \(4 = 2^2\) Подставим это в уравнение: \(2^6 \cdot 2^{\sqrt{x-1}} = (2^2)^{\sqrt{x-1}}\) Используем свойства степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \((a^m)^n = a^{mn}\). \(2^{6 + \sqrt{x-1}} = 2^{2\sqrt{x-1}}\) Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(6 + \sqrt{x-1} = 2\sqrt{x-1}\) Перенесем \(\sqrt{x-1}\) в правую часть: \(6 = 2\sqrt{x-1} - \sqrt{x-1}\) \(6 = \sqrt{x-1}\) Возведем обе части в квадрат: \(6^2 = (\sqrt{x-1})^2\) \(36 = x-1\) Найдем \(x\): \(x = 36 + 1\) \(x = 37\) Проверим область допустимых значений (ОДЗ): под корнем должно быть неотрицательное число, то есть \(x-1 \ge 0\), откуда \(x \ge 1\). Наше решение \(x=37\) удовлетворяет этому условию. Ответ: \(x = 37\) 2. Решить уравнение: \(4^x + 2 \cdot 2^x - 80 = 0\) Решение: Заметим, что \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Сделаем замену переменной. Пусть \(t = 2^x\). Так как \(2^x\) всегда положительно, то \(t > 0\). Подставим \(t\) в уравнение: \(t^2 + 2t - 80 = 0\) Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\). \(\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\). Найдем корни \(t\): \(t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8\) \(t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10\) Так как \(t > 0\), то \(t_2 = -10\) не подходит. Используем \(t_1 = 8\). Вернемся к замене: \(2^x = t\). \(2^x = 8\) \(2^x = 2^3\) Следовательно, \(x = 3\). Ответ: \(x = 3\) 3. Решить неравенство: \((x-2)^{x^2-6x+8} > 1\) Решение: Рассмотрим два случая в зависимости от основания \((x-2)\). Случай 1: Основание больше 1, то есть \(x-2 > 1\). В этом случае \(x > 3\). Если основание больше 1, то при сравнении степеней знак неравенства сохраняется. \(x^2 - 6x + 8 > 0\) Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 6x + 8 = 0\). По теореме Виета: сумма корней \(x_1 + x_2 = 6\), произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 8\). Корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 4\). Парабола \(y = x^2 - 6x + 8\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - 6x + 8 > 0\) при \(x < 2\) или \(x > 4\). Пересечем это решение с условием \(x > 3\): \((x < 2 \text{ или } x > 4) \text{ и } (x > 3)\) Получаем \(x > 4\). Случай 2: Основание находится между 0 и 1, то есть \(0 < x-2 < 1\). В этом случае \(2 < x < 3\). Если основание между 0 и 1, то при сравнении степеней знак неравенства меняется на противоположный. \(x^2 - 6x + 8 < 0\) Мы уже нашли корни \(x_1 = 2\), \(x_2 = 4\). Парабола \(y = x^2 - 6x + 8\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - 6x + 8 < 0\) при \(2 < x < 4\). Пересечем это решение с условием \(2 < x < 3\): \((2 < x < 4) \text{ и } (2 < x < 3)\) Получаем \(2 < x < 3\). Объединим решения из обоих случаев: \(x \in (2; 3) \cup (4; +\infty)\). ОДЗ для основания: \(x-2 > 0\), то есть \(x > 2\). Также основание не может быть равно 1, то есть \(x-2 \ne 1\), откуда \(x \ne 3\). Наши решения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: \(x \in (2; 3) \cup (4; +\infty)\) Функция \(f(t) = a^t\): Если основание \(a > 1\), функция возрастает. Если основание \(0 < a < 1\), функция убывает. В данном неравенстве основание \((x-2)\) меняется. Когда \(x-2 > 1\) (то есть \(x > 3\)), функция возрастает. Когда \(0 < x-2 < 1\) (то есть \(2 < x < 3\)), функция убывает. 4. Решить уравнение: \(\log_7 \sqrt{x-6} - \frac{1}{2}\log_7 (x-3) = \log_7 0,5\) Решение: Сначала определим ОДЗ: 1. Под логарифмом должно быть положительное число: \(x-6 > 0 \Rightarrow x > 6\). 2. Под логарифмом должно быть положительное число: \(x-3 > 0 \Rightarrow x > 3\). Общее ОДЗ: \(x > 6\). Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: \(\log_a b^k = k \log_a b\) и \(\log_a \sqrt{b} = \log_a b^{1/2} = \frac{1}{2} \log_a b\). \(\frac{1}{2}\log_7 (x-6) - \frac{1}{2}\log_7 (x-3) = \log_7 0,5\) Вынесем \(\frac{1}{2}\) за скобки: \(\frac{1}{2} (\log_7 (x-6) - \log_7 (x-3)) = \log_7 0,5\) Используем свойство \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\): \(\frac{1}{2} \log_7 \frac{x-6}{x-3} = \log_7 0,5\) Умножим обе части на 2: \(\log_7 \frac{x-6}{x-3} = 2 \log_7 0,5\) Перенесем 2 в показатель степени: \(\log_7 \frac{x-6}{x-3} = \log_7 (0,5)^2\) \(\log_7 \frac{x-6}{x-3} = \log_7 0,25\) Так как основания логарифмов равны, то и выражения под логарифмами должны быть равны: \(\frac{x-6}{x-3} = 0,25\) \(\frac{x-6}{x-3} = \frac{1}{4}\) Перемножим крест-на-крест: \(4(x-6) = 1(x-3)\) \(4x - 24 = x - 3\) Перенесем \(x\) в левую часть, а числа в правую: \(4x - x = 24 - 3\) \(3x = 21\) \(x = \frac{21}{3}\) \(x = 7\) Проверим, удовлетворяет ли решение ОДЗ \(x > 6\). \(7 > 6\), условие выполняется. Ответ: \(x = 7\) Функция \(f(t) = \log_a t\): Если основание \(a > 1\), функция возрастает. Если основание \(0 < a < 1\), функция убывает. В данном случае основание логарифма равно 7, что больше 1. Значит, функция \(\log_7 t\) возрастает. 5. Решить неравенство: \(\log_x (x^2 + 1) > 2\) Решение: Определим ОДЗ: 1. Основание логарифма должно быть положительным: \(x > 0\). 2. Основание логарифма не должно быть равно 1: \(x \ne 1\). 3. Выражение под логарифмом должно быть положительным: \(x^2 + 1 > 0\). Это условие выполняется для всех действительных \(x\), так как \(x^2 \ge 0\), значит \(x^2+1 \ge 1\). Общее ОДЗ: \(x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)\). Представим правую часть как логарифм по основанию \(x\): \(2 = 2 \cdot \log_x x = \log_x x^2\). Неравенство примет вид: \(\log_x (x^2 + 1) > \log_x x^2\) Рассмотрим два случая в зависимости от основания \(x\). Случай 1: Основание больше 1, то есть \(x > 1\). В этом случае логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: \(x^2 + 1 > x^2\) \(1 > 0\) Это неравенство всегда верно. Значит, для \(x > 1\) все значения \(x\) являются решениями. Решение для этого случая: \(x \in (1; +\infty)\). Случай 2: Основание находится между 0 и 1, то есть \(0 < x < 1\). В этом случае логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: \(x^2 + 1 < x^2\) \(1 < 0\) Это неравенство неверно. Значит, в этом случае решений нет. Объединяем решения из обоих случаев: \(x \in (1; +\infty)\). Ответ: \(x \in (1; +\infty)\) Функция \(f(t) = \log_a t\): Если основание \(a > 1\), функция возрастает. Если основание \(0 < a < 1\), функция убывает. В данном неравенстве основание \(x\) меняется. Когда \(x > 1\), функция возрастает. Когда \(0 < x < 1\), функция убывает. 6. Решить уравнение: \(\log_{x-1} (x^2 - 7x + 41) = 2\) Решение: Определим ОДЗ: 1. Основание логарифма должно быть положительным: \(x-1 > 0 \Rightarrow x > 1\). 2. Основание логарифма не должно быть равно 1: \(x-1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 2\). 3. Выражение под логарифмом должно быть положительным: \(x^2 - 7x + 41 > 0\). Найдем дискриминант квадратного трехчлена \(x^2 - 7x + 41\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 49 - 164 = -115\). Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)) и старший коэффициент \(a=1 > 0\), то парабола \(y = x^2 - 7x + 41\) всегда находится выше оси \(Ox\), то есть \(x^2 - 7x + 41 > 0\) для всех действительных \(x\). Общее ОДЗ: \(x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)\). По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). Применим это к нашему уравнению: \((x-1)^2 = x^2 - 7x + 41\) Раскроем скобки в левой части: \(x^2 - 2x + 1 = x^2 - 7x + 41\) Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа в правую: \(x^2 - 2x - x^2 + 7x = 41 - 1\) \(5x = 40\) Найдем \(x\): \(x = \frac{40}{5}\) \(x = 8\) Проверим, удовлетворяет ли решение ОДЗ \(x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)\). \(8 > 1\) и \(8 \ne 2\). Условие выполняется. Ответ: \(x = 8\) Функция \(f(t) = \log_a t\): Если основание \(a > 1\), функция возрастает. Если основание \(0 < a < 1\), функция убывает. В данном уравнении основание логарифма равно \(x-1\). Для найденного решения \(x=8\), основание \(x-1 = 8-1 = 7\). Так как \(7 > 1\), то функция \(\log_7 t\) возрастает.