Решение задачи: Скалярное произведение векторов в квадрате

Задача 1. Дано: ABCD — квадрат. \(AD = 1\). Найти: \(\vec{BC} \cdot \vec{BD}\). Решение: 1) Так как ABCD — квадрат, то все его стороны равны: \(BC = AD = 1\). 2) Диагональ квадрата \(BD\) находится по теореме Пифагора или по формуле \(a\sqrt{2}\): \[BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\] 3) Угол между вектором \(\vec{BC}\) и диагональю \(\vec{BD}\) в квадрате равен \(45^\circ\), так как диагональ является биссектрисой прямого угла. 4) Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[\vec{BC} \cdot \vec{BD} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{BD}))\] \[\vec{BC} \cdot \vec{BD} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Ответ: 1. Задача 2. Дано: ABCD — ромб. \(CD = 4\), \(\angle DAB = 150^\circ\). Найти: \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\). Решение: 1) У ромба все стороны равны, значит \(BA = BC = CD = 4\). 2) Сумма соседних углов ромба равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). 3) Угол между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) — это и есть угол \(B\) ромба, то есть \(30^\circ\). 4) Вычисляем скалярное произведение: \[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(30^\circ)\] \[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\] Ответ: \(8\sqrt{3}\). Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC = 2\). \(DC = 1\), \(BD \perp AC\). Найти: \(\vec{BA} \cdot \vec{DB}\). Решение: 1) Так как треугольник равнобедренный (\(AB=BC\)) и \(BD\) — высота, то \(BD\) также является медианой. Значит, \(AD = DC = 1\). 2) Из прямоугольного \(\triangle ABD\) по теореме Пифагора найдем \(BD\): \[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\] 3) Для нахождения угла между \(\vec{BA}\) и \(\vec{DB}\) совместим их начала. Отложим вектор \(\vec{BE} = \vec{DB}\) (он будет направлен вертикально вверх от точки B). Угол между \(\vec{BA}\) и \(\vec{BE}\) будет равен \(90^\circ + \angle ABD\). 4) В \(\triangle ABD\): \(\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}\), значит \(\angle ABD = 30^\circ\). 5) Угол \(\alpha\) между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{DB}\) равен \(180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\) (так как векторы направлены "друг от друга" относительно вершины B). 6) Вычисляем скалярное произведение: \[\vec{BA} \cdot \vec{DB} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(150^\circ)\] \[\vec{BA} \cdot \vec{DB} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3\] Ответ: -3.