Решение задачи: Найти косинус угла между векторами AB и CD

Задача 4. Дано: Координаты точек: \(A(-4; -4)\), \(B(2; 4)\), \(C(1; -3)\), \(D(-2; 1)\). Найти: \(\cos(\angle(\vec{AB}, \vec{CD}))\). Решение: 1) Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) по формуле \((x_2 - x_1; y_2 - y_1)\): \[\vec{AB} = (2 - (-4); 4 - (-4)) = (6; 8)\] \[\vec{CD} = (-2 - 1; 1 - (-3)) = (-3; 4)\] 2) Найдем длины (модули) этих векторов: \[|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\] \[|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] 3) Найдем скалярное произведение векторов через их координаты: \[\vec{AB} \cdot \vec{CD} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 6 \cdot (-3) + 8 \cdot 4 = -18 + 32 = 14\] 4) Вычислим косинус угла по формуле: \[\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}\] \[\cos \alpha = \frac{14}{10 \cdot 5} = \frac{14}{50} = 0,28\] Ответ: 0,28. Задача 5. Дано: \(\triangle ABC\). Координаты вершин: \(A(8; 1)\), \(B(-2; 3)\), \(C(2; -3)\). Доказать: \(\triangle ABC\) — прямоугольный. Доказательство: 1) Треугольник является прямоугольным, если скалярное произведение векторов, образующих одну из его вершин, равно нулю (так как \(\cos 90^\circ = 0\)). 2) Найдем координаты векторов сторон, выходящих из вершины C: \(\vec{CB}\) и \(\vec{CA}\). \[\vec{CB} = (-2 - 2; 3 - (-3)) = (-4; 6)\] \[\vec{CA} = (8 - 2; 1 - (-3)) = (6; 4)\] 3) Вычислим скалярное произведение этих векторов: \[\vec{CB} \cdot \vec{CA} = (-4) \cdot 6 + 6 \cdot 4 = -24 + 24 = 0\] 4) Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{CA}\) перпендикулярны (\(\vec{CB} \perp \vec{CA}\)). 5) Следовательно, \(\angle C = 90^\circ\), и треугольник \(ABC\) является прямоугольным. Что и требовалось доказать.