Решение задачи: Колебания и волны, 11 класс

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Контрольная работа по теме «Колебания и волны» 11 кл 1 вариант. 1. Напишите уравнение гармонических колебаний, если частота равна 0,5 Гц, а амплитуда колебаний 80 см. Решение: Уравнение гармонических колебаний имеет вид: \[x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)\] или \[x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)\] где \(A\) – амплитуда, \(\omega\) – циклическая частота, \(\phi_0\) – начальная фаза. Дано: Частота \( \nu = 0,5 \) Гц Амплитуда \( A = 80 \) см \( = 0,8 \) м Найдем циклическую частоту \(\omega\): \[\omega = 2 \pi \nu\] \[\omega = 2 \pi \cdot 0,5 \text{ Гц} = \pi \text{ рад/с}\] Примем начальную фазу \(\phi_0 = 0\). Тогда уравнение гармонических колебаний будет: \[x(t) = 0,8 \cos(\pi t)\] или \[x(t) = 0,8 \sin(\pi t)\] Ответ: Уравнение гармонических колебаний: \(x(t) = 0,8 \cos(\pi t)\) (или \(x(t) = 0,8 \sin(\pi t)\)). 2. Ускорение свободного падения на Луне 1,6 м/с\(^2\). Какой длины должен быть математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 4,9 с? Решение: Период колебаний математического маятника определяется формулой: \[T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] где \(T\) – период колебаний, \(L\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения. Дано: Ускорение свободного падения на Луне \(g = 1,6 \text{ м/с}^2\) Период колебаний \(T = 4,9 \text{ с}\) Выразим длину маятника \(L\) из формулы: Возведем обе части уравнения в квадрат: \[T^2 = (2 \pi)^2 \frac{L}{g}\] \[T^2 = 4 \pi^2 \frac{L}{g}\] Отсюда: \[L = \frac{T^2 g}{4 \pi^2}\] Подставим значения: \[L = \frac{(4,9 \text{ с})^2 \cdot 1,6 \text{ м/с}^2}{4 \cdot (3,14)^2}\] \[L = \frac{24,01 \cdot 1,6}{4 \cdot 9,8596}\] \[L = \frac{38,416}{39,4384}\] \[L \approx 0,974 \text{ м}\] Ответ: Длина математического маятника должна быть примерно 0,974 м. 3. Расстояние между ближайшими гребнями волн 10 м. Какова частота ударов волн о корпус, если скорость волн 3 м/с? Решение: Расстояние между ближайшими гребнями волн – это длина волны \(\lambda\). Скорость волны \(v\), длина волны \(\lambda\) и частота волны \(\nu\) связаны соотношением: \[v = \lambda \nu\] Дано: Длина волны \( \lambda = 10 \) м Скорость волны \( v = 3 \) м/с Найдем частоту волны \(\nu\): \[\nu = \frac{v}{\lambda}\] \[\nu = \frac{3 \text{ м/с}}{10 \text{ м}} = 0,3 \text{ Гц}\] Частота ударов волн о корпус равна частоте самой волны. Ответ: Частота ударов волн о корпус составляет 0,3 Гц. 4. Найти период и частоту колебаний в контуре, если емкость конденсатора составляет \(7,47 \times 10^{-10}\) Ф, а индуктивность катушки \(10,41 \times 10^{-4}\) Гн. Решение: Период колебаний в колебательном контуре (формула Томсона) определяется как: \[T = 2 \pi \sqrt{LC}\] Частота колебаний \(\nu\) связана с периодом \(T\) как: \[\nu = \frac{1}{T}\] Дано: Емкость конденсатора \(C = 7,47 \times 10^{-10}\) Ф Индуктивность катушки \(L = 10,41 \times 10^{-4}\) Гн Найдем период \(T\): \[T = 2 \pi \sqrt{(10,41 \times 10^{-4} \text{ Гн}) \cdot (7,47 \times 10^{-10} \text{ Ф})}\] \[T = 2 \pi \sqrt{77,7867 \times 10^{-14}}\] \[T = 2 \pi \sqrt{7,77867 \times 10^{-13}}\] \[T \approx 2 \pi \cdot 2,789 \times 10^{-7}\] \[T \approx 6,28 \cdot 2,789 \times 10^{-7}\] \[T \approx 17,51 \times 10^{-7} \text{ с}\] \[T \approx 1,751 \times 10^{-6} \text{ с}\] Найдем частоту \(\nu\): \[\nu = \frac{1}{T}\] \[\nu = \frac{1}{1,751 \times 10^{-6} \text{ с}}\] \[\nu \approx 0,571 \times 10^6 \text{ Гц}\] \[\nu \approx 5,71 \times 10^5 \text{ Гц}\] \[\nu \approx 571 \text{ кГц}\] Ответ: Период колебаний \(T \approx 1,751 \times 10^{-6}\) с, частота колебаний \(\nu \approx 571\) кГц. 5. Почему в метро радиоприемник умолкает? Ответ: В метро радиоприемник умолкает по нескольким причинам: 1. Металлические конструкции тоннеля и вагонов метрополитена действуют как экран Фарадея. Они поглощают и отражают радиоволны, препятствуя их проникновению внутрь тоннеля и к приемнику. 2. Глубина залегания тоннелей метро также играет роль. Радиоволны плохо распространяются под землей, их энергия быстро затухает. 3. В тоннелях метро могут присутствовать многочисленные источники электромагнитных помех от электрооборудования, двигателей поездов, систем освещения и вентиляции. Эти помехи могут заглушать полезный радиосигнал. 4. Отсутствие ретрансляторов. Для обеспечения радиосвязи в метро требуются специальные системы ретрансляции сигнала, которые не всегда установлены или не охватывают все участки тоннелей. Таким образом, комбинация экранирования, затухания сигнала под землей и электромагнитных помех приводит к тому, что радиоприемник в метро умолкает.