Решение задачи: Определение реакций опор составной конструкции

Задача по теоретической механике: Определение реакций опор составной конструкции. Дано: \(q = 75\) кН/м \(M = 33\) кНм \(F = 23\) кН \(\alpha = 50^{\circ}\) \(\beta = 32^{\circ}40' \approx 32,67^{\circ}\) \(AC = 6\) м \(AB = 8\) м \(AD = 10\) м \(KD = 4,5\) м Найти: \(R_A (X_A, Y_A)\), \(S_B\) (реакция стержня). Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\): \[Q = q \cdot AC = 75 \cdot 6 = 450 \text{ кН}\] Точка приложения силы \(Q\) находится посередине отрезка \(AC\), то есть на расстоянии \(3\) м от точки \(A\). 2. Разложим силу \(F\) на составляющие: \[F_x = F \cdot \cos(\beta) = 23 \cdot \cos(32,67^{\circ}) \approx 23 \cdot 0,8418 = 19,36 \text{ кН}\] \[F_y = F \cdot \sin(\beta) = 23 \cdot \sin(32,67^{\circ}) \approx 23 \cdot 0,5398 = 12,42 \text{ кН}\] 3. Реакция в стержне \(S_B\) направлена вдоль стержня под углом \(\alpha\). Разложим её на составляющие: \(S_{Bx} = S_B \cdot \cos(\alpha)\) \(S_{By} = S_B \cdot \sin(\alpha)\) 4. Составим уравнения равновесия для конструкции: Сумма моментов относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0\] \[-Q \cdot 3 - M + S_B \cdot \sin(50^{\circ}) \cdot 8 + F_y \cdot 10 + F_x \cdot 4,5 = 0\] Подставим значения: \[-450 \cdot 3 - 33 + S_B \cdot 0,766 \cdot 8 + 12,42 \cdot 10 + 19,36 \cdot 4,5 = 0\] \[-1350 - 33 + 6,128 \cdot S_B + 124,2 + 87,12 = 0\] \[6,128 \cdot S_B = 1171,68\] \[S_B = \frac{1171,68}{6,128} \approx 191,2 \text{ кН}\] Сумма проекций сил на ось \(X\): \[\sum F_x = 0\] \[X_A - S_B \cdot \cos(50^{\circ}) + F_x = 0\] \[X_A = S_B \cdot \cos(50^{\circ}) - F_x\] \[X_A = 191,2 \cdot 0,6428 - 19,36 = 122,9 - 19,36 = 103,54 \text{ кН}\] Сумма проекций сил на ось \(Y\): \[\sum F_y = 0\] \[Y_A - Q + S_B \cdot \sin(50^{\circ}) + F_y = 0\] \[Y_A = Q - S_B \cdot \sin(50^{\circ}) - F_y\] \[Y_A = 450 - 191,2 \cdot 0,766 - 12,42 = 450 - 146,46 - 12,42 = 291,12 \text{ кН}\] 5. Полная реакция опоры \(A\): \[R_A = \sqrt{X_A^2 + Y_A^2} = \sqrt{103,54^2 + 291,12^2} \approx 309,0 \text{ кН}\] Ответ: Реакция стержня \(S_B \approx 191,2\) кН, составляющие реакции опоры \(A\): \(X_A \approx 103,54\) кН, \(Y_A \approx 291,12\) кН.