Решение задачи 30.1: Зависимость концентрации носителей заряда от температуры

Вариант 30. Задача 30.1. Дано: \( \Delta E_g = 0,72 \) эВ \( T_1 = 300 \) К \( \frac{n_2}{n_1} = 2 \) \( k = 8,617 \cdot 10^{-5} \) эВ/К (постоянная Больцмана) Найти: \( \Delta T = ? \) Решение: Концентрация собственных носителей заряда (электронов проводимости) в полупроводнике зависит от температуры по закону: \[ n = A \cdot T^{3/2} \cdot \exp\left( -\frac{\Delta E_g}{2kT} \right) \] где \( A \) — константа. Поскольку экспоненциальный множитель меняется значительно быстрее, чем предэкспоненциальный множитель \( T^{3/2} \), при расчетах малых изменений температуры зависимостью \( T^{3/2} \) часто пренебрегают. Тогда отношение концентраций при температурах \( T_1 \) и \( T_2 \) запишется так: \[ \frac{n_2}{n_1} \approx \exp\left( -\frac{\Delta E_g}{2kT_2} + \frac{\Delta E_g}{2kT_1} \right) \] Прологарифмируем обе части выражения: \[ \ln\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \frac{\Delta E_g}{2k} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) \] Выразим разность обратных температур: \[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{2k \cdot \ln(2)}{\Delta E_g} \] Подставим числовые значения: \[ \frac{1}{300} - \frac{1}{T_2} = \frac{2 \cdot 8,617 \cdot 10^{-5} \cdot 0,693}{0,72} \] \[ 0,003333 - \frac{1}{T_2} \approx 0,000166 \] \[ \frac{1}{T_2} = 0,003333 - 0,000166 = 0,003167 \] \[ T_2 = \frac{1}{0,003167} \approx 315,76 \text{ К} \] Находим изменение температуры: \[ \Delta T = T_2 - T_1 = 315,76 - 300 = 15,76 \text{ К} \] Ответ: Температуру надо повысить примерно на 15,8 К. Качественное объяснение температурной зависимости для полупроводника n-типа: В широком интервале температур можно выделить три области: 1. Область низких температур (область примесной проводимости): При повышении температуры происходит ионизация донорных примесей. Число электронов в зоне проводимости быстро растет. 2. Область истощения примесей (область насыщения): При определенных температурах все примесные атомы уже ионизированы, а собственная проводимость еще мала. В этом интервале концентрация электронов практически не меняется и равна концентрации доноров. 3. Область высоких температур (область собственной проводимости): Энергии тепловых колебаний становится достаточно для переброса электронов из валентной зоны в зону проводимости через запрещенную зону. Концентрация электронов начинает расти экспоненциально, и полупроводник ведет себя как собственный.