Решение задачи 6: Квантовая механика

Для того чтобы переписать решение в тетрадь, оформим задачу по всем правилам: с кратким условием, формулами и выводом. Задача 6 Дано: \( l = 10^{-8} \) см \( = 10^{-10} \) м Спектр — дискретный Найти: \( m \) — ? Решение: 1. Согласно квантовой механике, энергия частицы в бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной \( l \) определяется формулой: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m l^2} \] где \( n = 1, 2, 3, \dots \) — квантовое число, \( \hbar \) — постоянная Планка, \( m \) — масса частицы. 2. Спектр энергии является дискретным (состоит из отдельных уровней) при любых значениях массы \( m \). Однако, чтобы дискретность была физически заметна и не "размывалась" тепловым движением, расстояние между уровнями энергии \( \Delta E \) должно быть соизмеримо или больше средней энергии теплового движения \( kT \). 3. Ширина ящика \( l = 10^{-10} \) м соответствует межатомным расстояниям (порядка размера атома водорода). Для того чтобы на таких расстояниях проявлялись квантовые свойства (дискретность), масса частицы должна быть очень мала — порядка массы элементарных частиц. 4. Если подставить массу электрона \( m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг в формулу, мы получим уровни энергии порядка нескольких электрон-вольт, что соответствует дискретному спектру, наблюдаемому в атомах. Если же мы возьмем макроскопическое тело (например, массу 1 г), уровни будут расположены настолько близко друг к другу, что спектр станет практически непрерывным. Ответ: Спектр будет дискретным при любой массе \( m > 0 \), но практически это наблюдается только для микрочастиц (масса порядка \( 10^{-30} \) — \( 10^{-27} \) кг). В природе такими частицами являются электроны, протоны и нейтроны. Дискретность их энергии в малых объемах — это фундаментальный факт, на котором строится современная физика, в том числе и достижения российской атомной науки.