Решение задачи 6: Дискретность энергии

Оформим задачу с подстановкой численных значений, чтобы показать, при каких условиях дискретность становится физически значимой. Задача 6 Дано: \( l = 10^{-8} \) см \( = 10^{-10} \) м \( \Delta E > kT \) (условие наблюдаемости дискретности) \( T \approx 300 \) К (комнатная температура) Найти: \( m \) — ? Решение: 1. Энергия на \( n \)-ом уровне в потенциальном ящике: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m l^2} \] Разность между первым и вторым уровнями (\( n=1 \) и \( n=2 \)): \[ \Delta E = E_2 - E_1 = \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2 m l^2} \] 2. Чтобы спектр не сливался в непрерывный из-за тепловых флуктуаций, должно выполняться условие \( \Delta E \geq kT \), где \( k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \) Дж/К — постоянная Больцмана. \[ \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2 m l^2} \geq kT \implies m \leq \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2 l^2 kT} \] 3. Подставим значения (\( \hbar \approx 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж·с): \[ m \leq \frac{3 \cdot 3,14^2 \cdot (1,05 \cdot 10^{-34})^2}{2 \cdot (10^{-10})^2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} \] \[ m \leq \frac{3 \cdot 9,86 \cdot 1,1 \cdot 10^{-68}}{2 \cdot 10^{-20} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} \] \[ m \leq \frac{32,5 \cdot 10^{-68}}{8,28 \cdot 10^{-41}} \approx 3,9 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \] 4. Сравним полученную массу с массами реальных частиц: Масса электрона: \( m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг (подходит, \( m_e < m \)). Масса протона: \( m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27} \) кг (уже на пределе для комнатных температур). Ответ: Чтобы дискретность спектра была выражена при обычных условиях в ящике размером с атом, масса частицы должна быть порядка \( 10^{-28} \) кг или меньше. В природе это электроны. Для более тяжелых частиц дискретность проявляется при очень низких температурах. Российская наука активно использует эти квантовые эффекты в разработке нанотехнологий и квантовых компьютеров.