Решение задачи №8: Результирующая сила зарядов

Задача №8 Дано: \(a = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}\) \(q_1 = 100 \text{ нКл} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\) \(q_2 = -80 \text{ нКл} = -80 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\) \(q_3 = 100 \text{ нКл} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\) \(q_0 = -40 \text{ нКл} = -40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\) \(k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2\) Найти: \(F_{рез} - ?\) Решение: 1. Центр тяжести правильного треугольника находится на расстоянии \(r\) от каждой вершины. Это радиус описанной окружности: \[r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0,3}{\sqrt{3}} = 0,1 \cdot \sqrt{3} \text{ м}\] \[r^2 = (0,1 \cdot \sqrt{3})^2 = 0,01 \cdot 3 = 0,03 \text{ м}^2\] 2. На заряд \(q_0\) действуют три силы со стороны зарядов в вершинах. По закону Кулона \(F = k \frac{|q \cdot q_0|}{r^2}\). Силы от \(q_1\) и \(q_3\) (положительные заряды притягивают отрицательный \(q_0\)): \[F_1 = F_3 = k \frac{|q_1 \cdot q_0|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{100 \cdot 10^{-9} \cdot 40 \cdot 10^{-9}}{0,03} = \frac{36 \cdot 10^{-6}}{0,03} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Н}\] Сила от \(q_2\) (отрицательный заряд отталкивает отрицательный \(q_0\)): \[F_2 = k \frac{|q_2 \cdot q_0|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{80 \cdot 10^{-9} \cdot 40 \cdot 10^{-9}}{0,03} = \frac{28,8 \cdot 10^{-6}}{0,03} = 0,96 \cdot 10^{-3} \text{ Н}\] 3. Направление сил: Силы \(F_1\) и \(F_3\) направлены к вершинам 1 и 3. Угол между ними в центре правильного треугольника составляет \(120^\circ\). Их равнодействующая \(F_{13}\) направлена по биссектрисе (от вершины 2) и равна: \[F_{13} = \sqrt{F_1^2 + F_3^2 + 2F_1 F_3 \cos(120^\circ)}\] Так как \(F_1 = F_3\) и \(\cos(120^\circ) = -0,5\), то \(F_{13} = F_1 = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Н}\). 4. Сила \(F_2\) направлена от вершины 2 (так как заряды одноименные). Таким образом, векторы \(F_{13}\) и \(F_2\) сонаправлены (оба направлены от вершины 2 к противоположной стороне). 5. Итоговая сила: \[F_{рез} = F_{13} + F_2 = 1,2 \cdot 10^{-3} + 0,96 \cdot 10^{-3} = 2,16 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 2,16 \text{ мН}\] Направление силы: от вершины с зарядом \(-80 \text{ нКл}\) через центр треугольника к середине противоположной стороны. Ответ: \(F_{рез} = 2,16 \text{ мН}\). Направлена от заряда \(q_2\) вдоль высоты треугольника.