Решение задачи по сопромату. Вариант 18

Для решения задачи по сопротивлению материалов для варианта 18 воспользуемся методом сечений. Дано: \(F_1 = 50 \text{ кН}\) \(F_2 = 80 \text{ кН}\) \(F_3 = 30 \text{ кН}\) \(A = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(l = 0,3 \text{ м}\) \(E = 210 \text{ ГПа} = 210 \cdot 10^9 \text{ Па}\) 1. Построение эпюры продольных сил \(N\). Разобьем брус на участки сверху вниз (от свободного конца к заделке). Принимаем растягивающую силу положительной, сжимающую — отрицательной. Участок 1 (длина \(1,5l\), площадь \(2A\)): Сечение выше точки приложения \(F_2\). \[N_1 = -F_1 = -50 \text{ кН}\] Участок 2 (длина \(1,5l\), площадь \(3A\)): Сечение между \(F_2\) и \(F_3\). \[N_2 = -F_1 - F_2 = -50 - 80 = -130 \text{ кН}\] Участок 3 (длина \(2l\), площадь \(5A\)): Сечение ниже точки приложения \(F_3\). \[N_3 = -F_1 - F_2 + F_3 = -50 - 80 + 30 = -100 \text{ кН}\] 2. Построение эпюры нормальных напряжений \(\sigma\). Напряжение вычисляется по формуле \(\sigma = \frac{N}{S}\). Участок 1: \[\sigma_1 = \frac{N_1}{2A} = \frac{-50 \cdot 10^3}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = -62,5 \cdot 10^6 \text{ Па} = -62,5 \text{ МПа}\] Участок 2: \[\sigma_2 = \frac{N_2}{3A} = \frac{-130 \cdot 10^3}{3 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} \approx -108,33 \cdot 10^6 \text{ Па} = -108,33 \text{ МПа}\] Участок 3: \[\sigma_3 = \frac{N_3}{5A} = \frac{-100 \cdot 10^3}{5 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = -25 \cdot 10^6 \text{ Па} = -25 \text{ МПа}\] 3. Построение эпюры перемещений \(\Delta l\). Перемещения считаем от жесткой заделки (снизу вверх), где \(\Delta l_0 = 0\). Перемещение в конце 3-го участка (граница 3 и 2): \[\Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot 2l}{5A \cdot E} = \frac{-100 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 0,3}{5 \cdot 4 \cdot 10^{-4} \cdot 210 \cdot 10^9} \approx -0,143 \cdot 10^{-3} \text{ м} = -0,143 \text{ мм}\] Перемещение в конце 2-го участка (граница 2 и 1): \[\Delta l_2 = \Delta l_3 + \frac{N_2 \cdot 1,5l}{3A \cdot E} = -0,143 \cdot 10^{-3} + \frac{-130 \cdot 10^3 \cdot 1,5 \cdot 0,3}{3 \cdot 4 \cdot 10^{-4} \cdot 210 \cdot 10^9} \approx -0,143 - 0,232 = -0,375 \text{ мм}\] Перемещение свободного конца (конец 1-го участка): \[\Delta l_1 = \Delta l_2 + \frac{N_1 \cdot 1,5l}{2A \cdot E} = -0,375 \cdot 10^{-3} + \frac{-50 \cdot 10^3 \cdot 1,5 \cdot 0,3}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-4} \cdot 210 \cdot 10^9} \approx -0,375 - 0,134 = -0,509 \text{ мм}\] Для оформления в тетради: 1. Начертите схему бруса вертикально. 2. Справа от схемы проведите три вертикальные оси для эпюр \(N\), \(\sigma\) и \(\Delta l\). 3. На эпюре \(N\) отложите значения \(-50\), \(-130\), \(-100\) (влево от оси). 4. На эпюре \(\sigma\) отложите \(-62,5\), \(-108,33\), \(-25\) (влево от оси). 5. На эпюре \(\Delta l\) отложите значения от \(0\) у заделки до \(-0,509\) на свободном конце (линия будет ломаной).