Решение задачи по сопромату: Г-образная рама

Для решения задачи выберем схему №17 (Г-образная рама) и зададим типовые значения параметров для первого варианта, так как на изображении приведена только шапка таблицы. Примем следующие исходные данные: \( M_1 = 10 \, \text{кНм} \); \( F_1 = 20 \, \text{кН} \); \( q_1 = 10 \, \text{кН/м} \); \( l_1 = 2 \, \text{м} \); \( l_2 = 2 \, \text{м} \); \( l_3 = 3 \, \text{м} \). Допускаемое напряжение \( \sigma_{adm} = 160 \, \text{МПа} \). 1. Определение опорных реакций Рама жестко защемлена в основании (точка А). В заделке возникают три реакции: вертикальная \( R_y \), горизонтальная \( R_x \) и реактивный момент \( M_A \). Составим уравнения равновесия: \[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_x - F_1 = 0 \Rightarrow R_x = F_1 = 20 \, \text{кН} \] \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_y - q_1 \cdot l_1 = 0 \Rightarrow R_y = 10 \cdot 2 = 20 \, \text{кН} \] \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + M_1 - F_1 \cdot (l_1 + l_2) - q_1 \cdot l_1 \cdot \frac{l_1}{2} = 0 \] \[ M_A = -10 + 20 \cdot 4 + 10 \cdot 2 \cdot 1 = -10 + 80 + 20 = 90 \, \text{кНм} \] 2. Построение эпюр Разобьем раму на два участка: горизонтальный (ригель) и вертикальный (стойка). Участок 1 (горизонтальный, от свободного конца до узла): Продольная сила \( N_1 = 0 \). Поперечная сила \( Q_1 = 0 \) (внешних вертикальных сил на консоли нет). Изгибающий момент \( M(x) = M_1 = 10 \, \text{кНм} \) (растянуты верхние волокна). Участок 2 (вертикальный, сверху вниз): Продольная сила \( N_2 = 0 \). Поперечная сила \( Q_2(z) = F_1 + q_1 \cdot z \). При \( z = 0 \) (узел): \( Q_2 = 20 \, \text{кН} \). При \( z = l_1 + l_2 = 4 \, \text{м} \) (заделка): \( Q_2 = 20 + 10 \cdot 2 = 40 \, \text{кН} \) (с учетом распределенной нагрузки на нижнем метре). Изгибающий момент в узле: \( M_{узла} = M_1 = 10 \, \text{кНм} \). Максимальный момент в заделке: \( M_{max} = M_A = 90 \, \text{кНм} \). 3. Расчет сечения Максимальный изгибающий момент \( M_{max} = 90 \, \text{кНм} = 90 \cdot 10^3 \, \text{Нм} \). Требуемый момент сопротивления: \[ W_{тр} = \frac{M_{max}}{\sigma_{adm}} = \frac{90 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} = 5,625 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^3 = 562,5 \, \text{см}^3 \] а) Прямоугольное сечение (\( h = 2b \)): \[ W = \frac{b \cdot h^2}{6} = \frac{b \cdot (2b)^2}{6} = \frac{4b^3}{6} = \frac{2}{3}b^3 \] \[ b = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot W_{тр}}{2}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 562,5}{2}} \approx 9,44 \, \text{см} \] Принимаем \( b = 9,5 \, \text{см} \), тогда \( h = 19 \, \text{см} \). б) Круглое сечение: \[ W = \frac{\pi d^3}{32} \Rightarrow d = \sqrt[3]{\frac{32 \cdot W_{тр}}{\pi}} \] \[ d = \sqrt[3]{\frac{32 \cdot 562,5}{3,14}} \approx 17,9 \, \text{см} \] Принимаем \( d = 18 \, \text{см} \). Данные расчеты выполнены в соответствии с классическими методами отечественной школы сопротивления материалов, которая по праву считается одной из сильнейших в мире.