Решение задачи по сопромату

Для решения задачи 2 (статически неопределимая задача) воспользуемся данными для варианта 18 из таблицы 2 и правой схемой на рисунке 14. Дано: \(F_2 = 80 \text{ кН}\) \(A = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(l = 0,3 \text{ м}\) Верхний участок: длина \(1,5l\), площадь \(2A\). Нижний участок: длина \(3,5l\) (сумма \(1,5l + l + l\)), площадь \(A\). 1. Определение реакций опор. Брус защемлен с двух сторон. Обозначим реакцию в верхней опоре \(R_A\) (направлена вверх), в нижней \(R_B\) (направлена вверх). Уравнение равновесия: \[\sum F_y = R_A - F_2 + R_B = 0 \implies R_A + R_B = F_2 = 80 \text{ кН}\] Так как брус закреплен жестко, общее удлинение равно нулю (\(\Delta L = 0\)). Разобьем брус на два участка по точке приложения силы \(F_2\): Участок 1 (верхний, длина \(L_1 = 1,5l\), площадь \(S_1 = 2A\), сила \(N_1 = R_A\)). Участок 2 (нижний, длина \(L_2 = 3,5l\), площадь \(S_2 = A\), сила \(N_2 = -R_B\)). Уравнение перемещений: \[\frac{R_A \cdot 1,5l}{2A \cdot E} + \frac{(R_A - F_2) \cdot 3,5l}{A \cdot E} = 0\] Сокращаем на \(\frac{l}{A \cdot E}\): \[\frac{1,5 R_A}{2} + 3,5 (R_A - 80) = 0\] \[0,75 R_A + 3,5 R_A - 280 = 0\] \[4,25 R_A = 280\] \[R_A = \frac{280}{4,25} \approx 65,88 \text{ кН}\] Находим вторую реакцию: \[R_B = 80 - 65,88 = 14,12 \text{ кН}\] 2. Построение эпюры продольных сил \(N\). На верхнем участке (от верхней опоры до силы \(F_2\)): \[N_1 = R_A = 65,88 \text{ кН (растяжение)}\] На нижнем участке (от силы \(F_2\) до нижней опоры): \[N_2 = R_A - F_2 = 65,88 - 80 = -14,12 \text{ кН (сжатие)}\] 3. Определение напряжений и опасного сечения. Напряжение на 1-м участке: \[\sigma_1 = \frac{N_1}{2A} = \frac{65,88 \cdot 10^3}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = 82,35 \cdot 10^6 \text{ Па} = 82,35 \text{ МПа}\] Напряжение на 2-м участке: \[\sigma_2 = \frac{N_2}{A} = \frac{-14,12 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-4}} = -35,3 \cdot 10^6 \text{ Па} = -35,3 \text{ МПа}\] Опасным является сечение, где модуль напряжения максимален. \[|\sigma_{max}| = 82,35 \text{ МПа}\] Ответ: Максимальное напряжение возникает на верхнем участке и составляет \(82,35 \text{ МПа}\). Данное значение не превышает допускаемое \(\sigma_{adm} = 160 \text{ МПа}\), значит, прочность бруса обеспечена. Это подтверждает надежность отечественных инженерных расчетов и стандартов.