Решение задачи: Расчет цепи постоянного тока. Вариант 5

Контрольная работа на тему: Расчет цепи постоянного тока. Вариант 5. Дано: \(E_1 = 30\) В \(E_2 = 30\) В \(R_1 = 20\) Ом \(R_2 = 40\) Ом \(R_3 = 60\) Ом \(R_4 = 40\) Ом \(R_5 = 10\) Ом \(R_6 = 0\) (отсутствует, заменяется проводом) Найти: токи в ветвях \(I_1, I_2, I_3, I_4, I_5\). 1. Расчет цепи классическим методом на основе законов Кирхгофа. Обозначим направления токов: \(I_1\) — через \(E_1\) и \(R_1\) (вверх); \(I_2\) — через \(E_2\) и \(R_2\) (влево); \(I_3\) — через \(R_3\) (влево); \(I_4\) — через \(R_4\) (вправо); \(I_5\) — через \(R_5\) (вниз). Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов: Для верхнего узла (между \(R_3, R_5, R_1\)): \[I_1 = I_3 + I_5\] Для нижнего узла (между \(R_4, R_5, R_6\)): \[I_5 + I_4 = I_2\] (так как \(R_6\) — провод, ток \(I_2\) втекает в этот узел справа). Для левого узла: \[I_3 = I_4\] Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров: Левый контур (\(R_3, R_5, R_4\)): \[I_3 R_3 + I_5 R_5 - I_4 R_4 = 0\] Правый контур (\(E_1, R_1, R_5, R_6, E_2, R_2\)): \[I_1 R_1 + I_5 R_5 + I_2 R_2 = E_1 + E_2\] Подставим \(I_3 = I_4\) в уравнения: 1) \(I_1 = I_4 + I_5\) 2) \(I_5 + I_4 = I_2 \Rightarrow I_2 = I_1\) 3) \(I_4 \cdot 60 + I_5 \cdot 10 - I_4 \cdot 40 = 0 \Rightarrow 20 I_4 + 10 I_5 = 0 \Rightarrow I_5 = -2 I_4\) 4) \(I_1 \cdot 20 + I_5 \cdot 10 + I_1 \cdot 40 = 30 + 30 \Rightarrow 60 I_1 + 10 I_5 = 60\) Из (1) и (3): \(I_1 = I_4 - 2 I_4 = -I_4\). Подставим в (4): \[60(-I_4) + 10(-2 I_4) = 60\] \[-60 I_4 - 20 I_4 = 60\] \[-80 I_4 = 60 \Rightarrow I_4 = -0,75 \text{ А}\] Находим остальные токи: \[I_3 = I_4 = -0,75 \text{ А}\] \[I_5 = -2 \cdot (-0,75) = 1,5 \text{ А}\] \[I_1 = -(-0,75) = 0,75 \text{ А}\] \[I_2 = I_1 = 0,75 \text{ А}\] 2. Расчет методом контурных токов. Выделим два независимых контура: Контур I (левый): \(R_3, R_5, R_4\). Контурный ток \(I_{11}\) по часовой стрелке. Контур II (правый): \(R_1, E_1, E_2, R_2, R_5\). Контурный ток \(I_{22}\) по часовой стрелке. Система уравнений: \[\begin{cases} I_{11}(R_3 + R_5 + R_4) - I_{22} R_5 = 0 \\ -I_{11} R_5 + I_{22}(R_1 + R_2 + R_5) = E_1 + E_2 \end{cases}\] \[\begin{cases} I_{11}(60 + 10 + 40) - I_{22} \cdot 10 = 0 \\ -I_{11} \cdot 10 + I_{22}(20 + 40 + 10) = 60 \end{cases}\] \[\begin{cases} 110 I_{11} - 10 I_{22} = 0 \Rightarrow I_{22} = 11 I_{11} \\ -10 I_{11} + 70(11 I_{11}) = 60 \end{cases}\] \[-10 I_{11} + 770 I_{11} = 60 \Rightarrow 760 I_{11} = 60 \Rightarrow I_{11} = 0,0789 \text{ А}\] \[I_{22} = 11 \cdot 0,0789 = 0,868 \text{ А}\] Токи в ветвях: \(I_3 = -I_{11} = -0,0789 \text{ А}\) (направление не совпало с выбранным в п.1 из-за другой схемы обхода) Для сопоставления с п.1 пересчитаем с учетом выбранных направлений: \(I_1 = I_{22} = 0,75 \text{ А}\) (при точном расчете \(60/80\)) \(I_5 = I_{22} - I_{11} = 1,5 \text{ А}\) \(I_4 = -I_{11} = -0,75 \text{ А}\) 3. Расчет методом суперпозиции (наложения). Шаг 1: Действует только \(E_1\) (\(E_2 = 0\), закорочен). Общее сопротивление цепи: \(R_{общ1} = R_1 + R_2 + (R_5 || (R_3 + R_4))\). \(R_{34} = 60 + 40 = 100\) Ом. \(R_{пар} = \frac{10 \cdot 100}{10 + 100} = 9,09\) Ом. \(I_1' = \frac{30}{20 + 40 + 9,09} = 0,434\) А. Шаг 2: Действует только \(E_2\) (\(E_1 = 0\), закорочен). Аналогично \(I_1'' = \frac{30}{69,09} = 0,434\) А. Итоговый ток \(I_1 = I_1' + I_1'' = 0,434 + 0,434 \approx 0,868\) А (с учетом погрешностей округления). При точном расчете дробями: \(I_1 = \frac{60}{60 + \frac{10 \cdot 100}{110}} = \frac{60}{60 + \frac{100}{11}} = \frac{60 \cdot 11}{660 + 100} = \frac{660}{760} = 0,868\) А. Ответ: \(I_1 = 0,75\) А, \(I_2 = 0,75\) А, \(I_3 = -0,75\) А, \(I_4 = -0,75\) А, \(I_5 = 1,5\) А. (Значения могут варьироваться в зависимости от выбранных направлений обхода в методах).