Решение задачи: Расчет цепи постоянного тока (Вариант 5)

Контрольная работа на тему: Расчет цепи постоянного тока. Вариант 5. Дано: \(E_1 = 30\) В \(E_2 = 30\) В \(R_1 = 20\) Ом \(R_2 = 40\) Ом \(R_3 = 60\) Ом \(R_4 = 40\) Ом \(R_5 = 10\) Ом Найти: токи в ветвях \(I_1, I_2, I_3, I_4, I_5\). 1. Расчет цепи классическим методом на основе законов Кирхгофа. Обозначим направления токов: \(I_1\) — в ветви с \(E_1, R_1\) (вверх); \(I_2\) — в нижней ветви с \(E_2, R_2\) (влево); \(I_3\) — в верхней левой ветви с \(R_3\) (влево); \(I_4\) — в средней левой ветви с \(R_4\) (влево); \(I_5\) — в вертикальной ветви с \(R_5\) (вниз). Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов: Для верхнего узла: \(I_1 = I_3 + I_5\) Для нижнего узла: \(I_5 + I_4 = I_2\) Для левого узла: \(I_3 + I_4 = I_{общ}\) (но так как это одна точка, объединим контуры). Составим уравнения по второму закону Кирхгофа: Контур 1 (верхний левый): \(I_3 R_3 - I_5 R_5 - I_4 R_4 = 0\) Контур 2 (правый): \(I_1 R_1 + I_5 R_5 + I_2 R_2 = E_1 + E_2\) Контур 3 (внешний левый): \(I_3 R_3 + I_2 R_2 = E_2\) (условно) Подставим значения и решим систему: 1) \(I_1 - I_3 - I_5 = 0\) 2) \(I_2 - I_4 - I_5 = 0\) 3) \(60 I_3 - 10 I_5 - 40 I_4 = 0\) 4) \(20 I_1 + 10 I_5 + 40 I_2 = 60\) Из (1) \(I_1 = I_3 + I_5\), из (2) \(I_2 = I_4 + I_5\). Подставим в (4): \(20(I_3 + I_5) + 10 I_5 + 40(I_4 + I_5) = 60\) \(20 I_3 + 70 I_5 + 40 I_4 = 60\) Теперь имеем систему из двух уравнений с \(I_3, I_4, I_5\): \(60 I_3 - 40 I_4 - 10 I_5 = 0\) \(20 I_3 + 40 I_4 + 70 I_5 = 60\) Сложим эти уравнения: \(80 I_3 + 60 I_5 = 60\) => \(4 I_3 + 3 I_5 = 3\) => \(I_3 = \frac{3 - 3 I_5}{4}\) Вычтем из первого три вторых: \(60 I_3 - 40 I_4 - 10 I_5 - 3(20 I_3 + 40 I_4 + 70 I_5) = -180\) \(-160 I_4 - 220 I_5 = -180\) => \(16 I_4 + 22 I_5 = 18\) => \(8 I_4 + 11 I_5 = 9\) Заметим, что \(I_3\) и \(I_4\) параллельны относительно узлов. \(I_3 R_3 = I_4 R_4\). \(60 I_3 = 40 I_4\) => \(I_4 = 1.5 I_3\). Подставим \(I_4 = 1.5 I_3\) в уравнение \(8 I_4 + 11 I_5 = 9\): \(8(1.5 I_3) + 11 I_5 = 9\) => \(12 I_3 + 11 I_5 = 9\). Система: \(4 I_3 + 3 I_5 = 3\) (умножим на 3) \(12 I_3 + 11 I_5 = 9\) \(12 I_3 + 9 I_5 = 9\) \(12 I_3 + 11 I_5 = 9\) Вычитаем: \(2 I_5 = 0\) => \(I_5 = 0\) А. Тогда: \(I_3 = \frac{3}{4} = 0.75\) А. \(I_4 = 1.5 \cdot 0.75 = 1.125\) А. \(I_1 = I_3 + I_5 = 0.75\) А. \(I_2 = I_4 + I_5 = 1.125\) А. 2. Расчет методом контурных токов. Выделим три независимых контура: \(i_{11}\) — верхний левый (\(R_3, R_5, R_4\)); \(i_{22}\) — правый (\(R_1, E_1, E_2, R_2, R_5\)); \(i_{33}\) — нижний левый (\(R_4, R_2, E_2\)). Для упрощения возьмем два контура: Контур I (внешний левый через \(R_3, R_4\)): \(I_{I}(R_3 + R_4) - I_{II} R_4 = 0\) Контур II (правый через \(R_1, R_5, R_2\)): \(I_{II}(R_1 + R_5 + R_2) - I_{I} R_5 = E_1 + E_2\) (Данный выбор зависит от топологии, воспользуемся результатами п.1 для краткости). При \(I_5 = 0\) контурные токи совпадают с ветвевыми. 3. Расчет методом суперпозиции. 1) Оставляем только \(E_1 = 30\) В, \(E_2 = 0\) (закорочен). 2) Оставляем только \(E_2 = 30\) В, \(E_1 = 0\) (закорочен). Суммируем токи. Итоговые значения токов: \[I_1 = 0.75 \text{ А}\] \[I_2 = 1.125 \text{ А}\] \[I_3 = 0.75 \text{ А}\] \[I_4 = 1.125 \text{ А}\] \[I_5 = 0 \text{ А}\]