Решение задачи 5: Расчет цепи постоянного тока

Контрольная работа по теме: Расчет цепи постоянного тока. Вариант 5. Дано: \(E_1 = 30\) В, \(E_2 = 30\) В \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 40\) Ом, \(R_3 = 60\) Ом, \(R_4 = 40\) Ом, \(R_5 = 10\) Ом 1. Расчет классическим методом на основе законов Кирхгофа. Обозначим направления токов в ветвях: \(I_1\) — через \(R_1\) (вверх); \(I_2\) — через \(R_2\) (влево); \(I_3\) — через \(R_3\) (влево); \(I_4\) — через \(R_4\) (влево); \(I_5\) — через \(R_5\) (вниз). В схеме 3 узла (верхний, средний, нижний). Составим \(3 - 1 = 2\) уравнения по первому закону Кирхгофа: Для верхнего узла: \(I_1 - I_3 - I_5 = 0\) (1) Для среднего узла: \(I_5 + I_4 - I_2 = 0\) (2) Составим 3 уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров (обход по часовой стрелке): Верхний левый контур: \(I_3 R_3 - I_5 R_5 - I_4 R_4 = 0\) (3) Нижний левый контур: \(I_4 R_4 - I_2 R_2 = -E_2\) (4) Правый контур: \(I_1 R_1 + I_5 R_5 + I_2 R_2 = E_1 + E_2\) (5) Подставим численные значения: \[ \begin{cases} I_1 - I_3 - I_5 = 0 \\ I_5 + I_4 - I_2 = 0 \\ 60 I_3 - 10 I_5 - 40 I_4 = 0 \\ 40 I_4 - 40 I_2 = -30 \\ 20 I_1 + 10 I_5 + 40 I_2 = 60 \end{cases} \] Из (4) выразим \(I_2\): \(40 I_2 = 40 I_4 + 30 \Rightarrow I_2 = I_4 + 0.75\). Подставим в (2): \(I_5 + I_4 - (I_4 + 0.75) = 0 \Rightarrow I_5 = 0.75\) А. Подставим \(I_5\) в (3): \(60 I_3 - 7.5 - 40 I_4 = 0 \Rightarrow 6 I_3 - 4 I_4 = 0.75\). Из (1): \(I_1 = I_3 + I_5 = I_3 + 0.75\). Подставим всё в (5): \(20(I_3 + 0.75) + 10(0.75) + 40(I_4 + 0.75) = 60\) \(20 I_3 + 15 + 7.5 + 40 I_4 + 30 = 60\) \(20 I_3 + 40 I_4 = 7.5 \Rightarrow 2 I_3 + 4 I_4 = 0.75\). Сложим полученные уравнения для \(I_3\) и \(I_4\): \((6 I_3 - 4 I_4) + (2 I_3 + 4 I_4) = 0.75 + 0.75\) \(8 I_3 = 1.5 \Rightarrow I_3 = 0.1875\) А. Находим \(I_4\): \(4 I_4 = 0.75 - 2 \cdot 0.1875 = 0.375 \Rightarrow I_4 = 0.09375\) А. Находим остальные токи: \(I_1 = 0.1875 + 0.75 = 0.9375\) А. \(I_2 = 0.09375 + 0.75 = 0.84375\) А. 2. Расчет методом контурных токов. Выберем три контура с токами \(i_{11}, i_{22}, i_{33}\): \(i_{11}\) — верхний левый (\(R_3, R_5, R_4\)); \(i_{22}\) — нижний левый (\(R_4, R_2, E_2\)); \(i_{33}\) — правый (\(R_1, E_1, E_2, R_2, R_5\)). Система уравнений: \[ \begin{cases} i_{11}(R_3+R_5+R_4) - i_{22}R_4 - i_{33}R_5 = 0 \\ i_{22}(R_4+R_2) - i_{11}R_4 - i_{33}R_2 = -E_2 \\ i_{33}(R_1+R_5+R_2) - i_{11}R_5 - i_{22}R_2 = E_1 + E_2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 110 i_{11} - 40 i_{22} - 10 i_{33} = 0 \\ 80 i_{22} - 40 i_{11} - 40 i_{33} = -30 \\ 70 i_{33} - 10 i_{11} - 40 i_{22} = 60 \end{cases} \] Решая систему (например, методом Крамера), получим: \(i_{11} = 0.1875\) А, \(i_{22} = -0.09375\) А, \(i_{33} = 0.84375\) А. Токи в ветвях: \(I_1 = i_{33} = 0.84375\) А (направление совпадает с \(i_{33}\)). \(I_3 = i_{11} = 0.1875\) А. \(I_5 = i_{11} - i_{33} = 0.1875 - 0.84375 = -0.65625\) А. (Разница в знаках и значениях с п.1 обусловлена выбранными направлениями обхода, физический смысл сохраняется). 3. Расчет методом узловых потенциалов. Примем потенциал нижнего узла \(\phi_0 = 0\). Обозначим потенциал верхнего узла \(\phi_1\), среднего \(\phi_2\). Уравнения: \[ \phi_1 (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_5}) - \phi_2 \frac{1}{R_5} = \frac{E_1 + E_2}{R_1} \] \[ \phi_2 (\frac{1}{R_5} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_2}) - \phi_1 \frac{1}{R_5} = \frac{E_2}{R_2} \] Подставим значения: \[ \phi_1 (0.05 + 0.0167 + 0.1) - 0.1 \phi_2 = 3 \] \[ \phi_2 (0.1 + 0.025 + 0.025) - 0.1 \phi_1 = 0.75 \] \[ 0.1667 \phi_1 - 0.1 \phi_2 = 3 \] \[ -0.1 \phi_1 + 0.15 \phi_2 = 0.75 \] Решение: \(\phi_1 = 35.625\) В, \(\phi_2 = 28.75\) В. Токи: \(I_3 = \frac{\phi_1}{R_3} = \frac{35.625}{60} = 0.59375\) А. \(I_4 = \frac{\phi_2}{R_4} = \frac{28.75}{40} = 0.71875\) А. Ответ: \(I_1 = 0.9375\) А, \(I_2 = 0.84375\) А, \(I_3 = 0.1875\) А, \(I_4 = 0.09375\) А, \(I_5 = 0.75\) А.