Решение задачи на тепловую и дрейфовую скорость электронов

Задача 30.2. Дано: \( T = 300 \) К \( N_d = 10^{22} \) м\(^{-3}\) \( j = 10^4 \) А/м\(^2\) \( m_n = 0,12 m_0 \) \( m_0 = 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг (масса покоя электрона) \( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \) Дж/К (постоянная Больцмана) \( e = 1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл (заряд электрона) Найти: \( v_{т} \) — тепловая скорость \( v_{др} \) — дрейфовая скорость Решение: 1. Оценка тепловой скорости электронов. Тепловую скорость можно оценить из условия равенства средней кинетической энергии теплового движения величине \( \frac{3}{2}kT \): \[ \frac{m_n v_{т}^2}{2} = \frac{3}{2}kT \] Отсюда тепловая скорость равна: \[ v_{т} = \sqrt{\frac{3kT}{m_n}} \] Вычислим эффективную массу электрона: \[ m_n = 0,12 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \approx 1,09 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \] Подставим значения в формулу скорости: \[ v_{т} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{1,09 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{1,242 \cdot 10^{-20}}{1,09 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{1,14 \cdot 10^{11}} \approx 3,38 \cdot 10^5 \text{ м/с} \] 2. Оценка дрейфовой скорости электронов. Плотность тока в полупроводнике n-типа определяется концентрацией основных носителей (электронов) и их дрейфовой скоростью: \[ j = e \cdot n \cdot v_{др} \] При комнатной температуре \( T = 300 \) К в примесном полупроводнике практически все доноры ионизированы, поэтому концентрация электронов \( n \approx N_d \). Тогда формула для дрейфовой скорости примет вид: \[ v_{др} = \frac{j}{e \cdot N_d} \] Подставим числовые значения: \[ v_{др} = \frac{10^4}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{22}} = \frac{10^4}{1,6 \cdot 10^3} = \frac{10}{1,6} = 6,25 \text{ м/с} \] Сравнение результатов: Как видно из расчетов, тепловая скорость (\( \approx 3,4 \cdot 10^5 \) м/с) на много порядков превышает дрейфовую скорость (\( 6,25 \) м/с). Это объясняется тем, что дрейф — это лишь небольшая направленная добавка к хаотическому тепловому движению электронов под действием электрического поля. Ответ: \( v_{т} \approx 3,38 \cdot 10^5 \) м/с; \( v_{др} = 6,25 \) м/с.