Решение задачи: Теорема Чевы (площадь треугольника ABC)

Задание 9. Дано: В треугольнике \(ABC\) точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\) соответственно. \(AK : KB = 1 : 2\) \(CL : LB = 2 : 1\) \(P = AL \cap CK\) \(S_{PBC} = 1\) Найти: \(S_{ABC}\) Решение: 1. Пусть \(S_{ABC} = S\). Обозначим отношения отрезков на сторонах: \[ \frac{AK}{KB} = \frac{1}{2} \implies \frac{KB}{AB} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{CL}{LB} = \frac{2}{1} \implies \frac{LB}{BC} = \frac{1}{3} \] 2. Воспользуемся методом площадей или теоремой о площади треугольников с общим углом. Площадь треугольника \(KBC\) относится к площади \(ABC\) как \(KB\) к \(AB\), так как у них общая высота из вершины \(C\): \[ S_{KBC} = \frac{KB}{AB} \cdot S = \frac{2}{3}S \] 3. Аналогично для треугольника \(ABL\): \[ S_{ABL} = \frac{LB}{BC} \cdot S = \frac{1}{3}S \] 4. Для нахождения площади \(S_{PBC}\) удобно использовать теорему Ван-Обеля или метод масс. Назначим массы вершинам треугольника. Пусть масса в вершине \(B\) равна \(m(B) = 2\). Тогда из отношения \(AK : KB = 1 : 2\) следует, что \(m(A) = m(B) \cdot \frac{KB}{AK} = 2 \cdot \frac{2}{1} = 4\). Из отношения \(CL : LB = 2 : 1\) следует, что \(m(C) = m(B) \cdot \frac{LB}{LC} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\). 5. Найдем отношение, в котором точка \(P\) делит отрезок \(CK\). По свойству центра масс: \[ \frac{CP}{PK} = \frac{m(A) + m(B)}{m(C)} = \frac{4 + 2}{1} = 6 \] Следовательно, \(CP = \frac{6}{7} CK\). 6. Площадь треугольника \(PBC\) связана с площадью \(KBC\) через отношение отрезков \(CP\) и \(CK\) (у них общая высота из вершины \(B\) к прямой \(CK\)): \[ S_{PBC} = \frac{CP}{CK} \cdot S_{KBC} \] Подставим известные значения: \[ 1 = \frac{6}{7} \cdot \left( \frac{2}{3}S \right) \] \[ 1 = \frac{12}{21}S \] \[ 1 = \frac{4}{7}S \] 7. Выразим \(S\): \[ S = \frac{7}{4} = 1,75 \] Ответ: 1,75