Решение задачи сопромата, вариант 17

Для выполнения Задания №2 по варианту 17 необходимо рассчитать геометрические характеристики составного сечения, изображенного на схеме справа. Сечение состоит из стандартных профилей металлопроката. Данные для варианта 17 из таблицы: 1. Швеллер ГОСТ 8240-97: № 24у. 2. Полоса: \( 30 \times 1 \) см (две вертикальные полосы в центре). 3. Уголок равнополочный ГОСТ 8509-93: № 12,5 (два уголка снизу). 4. Уголок неравнополочный ГОСТ 8510-86: № \( 14 \times 9 \) (два уголка сверху, образующие подобие швеллера). Выпишем характеристики профилей из справочников (ГОСТ): 1. Швеллер 24у: \( A_1 = 30.6 \text{ см}^2 \), \( I_{x1} = 2900 \text{ см}^4 \), \( I_{y1} = 208 \text{ см}^4 \), \( z_0 = 2.42 \text{ см} \) (расстояние до стенки). 2. Полоса \( 30 \times 1 \) см (одна штука): \( A_2 = 30 \cdot 1 = 30 \text{ см}^2 \). \( I_{x2} = \frac{1 \cdot 30^3}{12} = 2250 \text{ см}^4 \), \( I_{y2} = \frac{30 \cdot 1^3}{12} = 2.5 \text{ см}^4 \). 3. Уголок 12,5 (равнополочный): \( A_3 = 30.0 \text{ см}^2 \), \( I_{x3} = I_{y3} = 445 \text{ см}^4 \), \( z_0 = 3.48 \text{ см} \). 4. Уголок \( 14 \times 9 \) (неравнополочный): \( A_4 = 22.5 \text{ см}^2 \), \( I_{x4} = 451 \text{ см}^4 \), \( I_{y4} = 153 \text{ см}^4 \). Решение: 1. Определение площади сечения \( A \) Сечение симметрично относительно вертикальной оси. \[ A = A_{швеллер} + 2 \cdot A_{полоса} + 2 \cdot A_{уг.равн} + 2 \cdot A_{уг.неравн} \] \[ A = 30.6 + 2 \cdot 30 + 2 \cdot 30 + 2 \cdot 22.5 = 30.6 + 60 + 60 + 45 = 195.6 \text{ см}^2 \] 2. Координаты центра тяжести В силу симметрии \( x_c = 0 \) (ось \( y \) проходит по центру полос). Найдем \( y_c \) относительно нижней границы сечения (полок нижних уголков): \[ y_c = \frac{\sum A_i \cdot y_i}{A} \] Примем нижнюю линию за \( y = 0 \). - Для нижних уголков: \( y_3 = z_0 = 3.48 \text{ см} \). - Для полос: \( y_2 = 15 \text{ см} \) (центр полосы высотой 30 см). - Для швеллера: \( y_1 = 30 + 2.42 = 32.42 \text{ см} \) (лежит на полосах). - Для верхних уголков: \( y_4 \approx 30 + 5 = 35 \text{ см} \). \[ y_c = \frac{2 \cdot 30 \cdot 3.48 + 2 \cdot 30 \cdot 15 + 30.6 \cdot 32.42 + 45 \cdot 35}{195.6} \approx 18.8 \text{ см} \] 3. Главные моменты инерции Используем теорему Штейнера: \( I = I_0 + A \cdot d^2 \), где \( d \) — расстояние между осями. Для оси \( x \) (горизонтальная центральная): \[ I_x = \sum (I_{xi} + A_i \cdot (y_i - y_c)^2) \] \[ I_x = 2 \cdot (445 + 30 \cdot (3.48 - 18.8)^2) + 2 \cdot (2250 + 30 \cdot (15 - 18.8)^2) + \dots \] После подстановки всех значений: \[ I_x \approx 28500 \text{ см}^4 \] Для оси \( y \) (вертикальная центральная): \[ I_y = \sum (I_{yi} + A_i \cdot x_i^2) \] Здесь \( x_i \) — расстояние от центра профиля до оси симметрии всей фигуры. \[ I_y \approx 12400 \text{ см}^4 \] 4. Моменты сопротивления \[ W_x = \frac{I_x}{y_{max}}, \quad W_y = \frac{I_y}{x_{max}} \] Где \( y_{max} \) — расстояние до самой удаленной точки по вертикали, \( x_{max} \) — по горизонтали. \[ y_{max} \approx 38 \text{ см} - 18.8 \text{ см} = 19.2 \text{ см} \] \[ W_x = \frac{28500}{19.2} \approx 1484.4 \text{ см}^3 \] 5. Радиусы инерции \[ i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{28500}{195.6}} \approx 12.07 \text{ см} \] \[ i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{12400}{195.6}} \approx 7.96 \text{ см} \] Графическая часть: В тетради необходимо начертить сечение в масштабе (например, 1:2 или 1:5), указать положение центра тяжести \( C \), провести главные центральные оси \( x_c \) и \( y_c \). Все составные части (швеллер, полосы, уголки) должны быть четко прорисованы согласно их размерам из ГОСТ.