Решение задачи по сопромату: Вариант 17

Для решения задачи по сопротивлению материалов выберем данные из таблицы для варианта №17 и схему №17 (Г-образная рама с жесткой заделкой). Исходные данные (вариант 17): \( M_1 = 16 \) кНм; \( M_2 = 15 \) кНм (в данной схеме не используется); \( F_1 = 4 \) кН; \( F_2 = 6 \) кН (в данной схеме не используется); \( q_1 = 0 \) кН/м; \( q_2 = 6 \) кН/м (в данной схеме не используется); \( l_1 = 2,0 \) м; \( l_2 = 1,5 \) м; \( l_3 = 2,0 \) м; \( \sigma_{adm} = 160 \) МПа. 1. Определение опорных реакций Рама жестко защемлена в основании (точка А). В заделке возникают три реакции: вертикальная \( R_y \), горизонтальная \( R_x \) и реактивный момент \( M_A \). На схеме 17: - Горизонтальный стержень длиной \( l_3 \) нагружен моментом \( M_1 \) (против часовой стрелки) и силой \( F_1 \) (вниз) на конце. - Вертикальный стержень состоит из двух участков \( l_2 \) и \( l_1 \). Распределенная нагрузка \( q_1 = 0 \), поэтому она не учитывается. Составим уравнения равновесия: \[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_y - F_1 = 0 \Rightarrow R_y = F_1 = 4 \text{ кН} \] \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + M_1 - F_1 \cdot l_3 = 0 \] \[ M_A = F_1 \cdot l_3 - M_1 = 4 \cdot 2,0 - 16 = 8 - 16 = -8 \text{ кНм} \] Отрицательный знак означает, что момент в заделке направлен по часовой стрелке. 2. Построение эпюр внутренних усилий Разобьем раму на участки. Участок 1 (горизонтальный, от свободного конца вправо): \( 0 \le z_1 \le l_3 \) \[ Q_1(z_1) = F_1 = 4 \text{ кН} \] \[ M_1(z_1) = -M_1 + F_1 \cdot z_1 \] При \( z_1 = 0 \): \( M = -16 \) кНм. При \( z_1 = 2,0 \): \( M = -16 + 4 \cdot 2 = -8 \) кНм. Продольная сила \( N_1 = 0 \). Участок 2 (вертикальный, сверху вниз): \( 0 \le z_2 \le (l_1 + l_2) \) Поперечная сила \( Q_2 = 0 \) (так как нет горизонтальных сил). Продольная сила \( N_2 = -F_1 = -4 \) кН (сжатие). Изгибающий момент по всей высоте стойки постоянен, так как нет сил, создающих плечо относительно оси стойки: \[ M_2 = -8 \text{ кНм} \] 3. Расчет сечения из условия прочности Максимальный изгибающий момент по модулю: \( M_{max} = 16 \text{ кНм} = 16 \cdot 10^3 \text{ Нм} \). Требуемый момент сопротивления: \[ W_x \ge \frac{M_{max}}{\sigma_{adm}} = \frac{16 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} = 10^{-4} \text{ м}^3 = 100 \text{ см}^3 \] а) Прямоугольное сечение (\( h = 2b \)): \[ W_x = \frac{b \cdot h^2}{6} = \frac{b \cdot (2b)^2}{6} = \frac{4b^3}{6} = \frac{2}{3}b^3 \] \[ \frac{2}{3}b^3 = 100 \Rightarrow b = \sqrt[3]{150} \approx 5,31 \text{ см} \] \[ h = 2b = 10,62 \text{ см} \] б) Круглое сечение: \[ W_x = \frac{\pi d^3}{32} \approx 0,1 d^3 \] \[ 0,1 d^3 = 100 \Rightarrow d = \sqrt[3]{1000} = 10 \text{ см} \] Ответ: Реакции: \( R_y = 4 \) кН, \( M_A = 8 \) кНм. Сечение: прямоугольное \( b \approx 5,4 \) см, \( h \approx 10,8 \) см; круглое \( d \approx 10,1 \) см (с округлением в большую сторону).