Решение задачи сопромата: Вариант 17, Схема 1

Для решения задачи по сопротивлению материалов выберем данные из таблицы для варианта №17 и применим их к первой схеме (горизонтальная балка с жесткой заделкой слева). Исходные данные (вариант 17): \( M_1 = 16 \) кНм; \( M_2 = 15 \) кНм; \( F_1 = 4 \) кН; \( F_2 = 6 \) кН; \( l_1 = 2,0 \) м; \( l_2 = 1,5 \) м; \( l_3 = 2,0 \) м; \( l_4 = 3,0 \) м; \( \sigma_{adm} = 160 \) МПа. 1. Определение опорных реакций Балка жестко защемлена в левом конце (точка А). В заделке возникают реактивная сила \( R_A \) и реактивный момент \( M_A \). Составим уравнения равновесия: \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_A - F_2 - F_1 = 0 \] \[ R_A = F_2 + F_1 = 6 + 4 = 10 \text{ кН} \] \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + M_1 - F_2 \cdot l_1 - F_1 \cdot (l_1 + l_2) + M_2 = 0 \] \[ M_A = -M_1 + F_2 \cdot l_1 + F_1 \cdot (l_1 + l_2) - M_2 \] \[ M_A = -16 + 6 \cdot 2,0 + 4 \cdot (2,0 + 1,5) - 15 \] \[ M_A = -16 + 12 + 14 - 15 = -5 \text{ кНм} \] Знак «минус» означает, что момент в заделке направлен по часовой стрелке. 2. Построение эпюр \( Q \) и \( M \) Разобьем балку на участки (справа налево для удобства): Участок 1 (от свободного конца): \( 0 \le z_1 \le l_4 + l_3 \) На этом участке внешних сил нет до момента \( M_2 \). \[ Q_1 = 0 \] \[ M_1 = 0 \] Участок 2 (после момента \( M_2 \)): \[ Q_2 = 0 \] \[ M_2 = -M_2 = -15 \text{ кНм} \] Участок 3 (после силы \( F_1 \)): \[ Q_3 = F_1 = 4 \text{ кН} \] \[ M_3(z_3) = -15 + 4 \cdot z_3 \] При \( z_3 = 0 \): \( M = -15 \) кНм. При \( z_3 = 1,5 \): \( M = -15 + 4 \cdot 1,5 = -9 \) кНм. Участок 4 (после силы \( F_2 \)): \[ Q_4 = F_1 + F_2 = 4 + 6 = 10 \text{ кН} \] \[ M_4(z_4) = -9 + 10 \cdot z_4 \] При \( z_4 = 2,0 \): \( M = -9 + 10 \cdot 2,0 = 11 \) кНм. Максимальный изгибающий момент по модулю: \( M_{max} = 15 \text{ кНм} \). 3. Расчет сечения из условия прочности Требуемый момент сопротивления: \[ W_x \ge \frac{M_{max}}{\sigma_{adm}} = \frac{15 \cdot 10^3 \text{ Нм}}{160 \cdot 10^6 \text{ Па}} = 0,9375 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 93,75 \text{ см}^3 \] а) Прямоугольное сечение (\( h = 2b \)): \[ W_x = \frac{bh^2}{6} = \frac{b(2b)^2}{6} = \frac{2}{3}b^3 \] \[ b = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 93,75}{2}} = \sqrt[3]{140,625} \approx 5,2 \text{ см} \] \[ h = 2b = 10,4 \text{ см} \] б) Круглое сечение: \[ W_x = \frac{\pi d^3}{32} \approx 0,1 d^3 \] \[ d = \sqrt[3]{\frac{93,75}{0,1}} = \sqrt[3]{937,5} \approx 9,8 \text{ см} \] Ответ: Реакции: \( R_A = 10 \) кН, \( M_A = -5 \) кНм. Размеры: прямоугольник \( 5,2 \times 10,4 \) см; круг \( d = 9,8 \) см.