Решение задачи сопромата: Вариант 17, Схемы 1, 2, 3

Для решения задачи по сопротивлению материалов выберем данные из таблицы для варианта №17 и применим их к третьей схеме (Г-образная рама с жесткой заделкой в основании). Исходные данные (вариант 17): \( M_1 = 16 \) кНм; \( F_1 = 4 \) кН; \( q_1 = 0 \) кН/м (распределенная нагрузка на стойке отсутствует); \( l_1 = 2,0 \) м; \( l_2 = 1,5 \) м; \( l_3 = 2,0 \) м; \( \sigma_{adm} = 160 \) МПа. 1. Определение опорных реакций Рама закреплена жесткой заделкой в точке А (основание стойки). В заделке возникают: вертикальная реакция \( R_y \), горизонтальная реакция \( R_x \) и реактивный момент \( M_A \). Согласно схеме 17: - На горизонтальный ригель длиной \( l_3 \) действует сосредоточенная сила \( F_1 \) (вниз) на расстоянии \( l_3 \) от узла и сосредоточенный момент \( M_1 \) (против часовой стрелки) на свободном конце. - Стойка имеет общую высоту \( H = l_1 + l_2 = 2,0 + 1,5 = 3,5 \) м. Составим уравнения равновесия: \[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_y - F_1 = 0 \Rightarrow R_y = F_1 = 4 \text{ кН} \] \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + M_1 - F_1 \cdot l_3 = 0 \] \[ M_A = F_1 \cdot l_3 - M_1 = 4 \cdot 2,0 - 16 = 8 - 16 = -8 \text{ кНм} \] Знак «минус» указывает, что реактивный момент в заделке направлен по часовой стрелке. 2. Построение эпюр внутренних усилий Рассмотрим два участка рамы: Участок 1 (горизонтальный ригель, от свободного конца влево): \( 0 \le z_1 \le l_3 \) \[ Q_1 = F_1 = 4 \text{ кН} \] \[ M_1(z_1) = -M_1 + F_1 \cdot z_1 \] При \( z_1 = 0 \): \( M = -16 \) кНм. При \( z_1 = 2,0 \): \( M = -16 + 4 \cdot 2,0 = -8 \) кНм. Продольная сила \( N_1 = 0 \). Участок 2 (вертикальная стойка, от узла вниз): \( 0 \le z_2 \le 3,5 \) м Поперечная сила \( Q_2 = 0 \) (горизонтальных нагрузок нет). Продольная сила \( N_2 = -F_1 = -4 \) кН (сжатие стойки). Изгибающий момент передается из узла и остается постоянным по всей высоте, так как \( R_x = 0 \): \[ M_2 = -8 \text{ кНм} \] Максимальный изгибающий момент по модулю: \( M_{max} = 16 \text{ кНм} \). 3. Расчет сечения из условия прочности Требуемый момент сопротивления: \[ W_x \ge \frac{M_{max}}{\sigma_{adm}} = \frac{16 \cdot 10^3 \text{ Нм}}{160 \cdot 10^6 \text{ Па}} = 10^{-4} \text{ м}^3 = 100 \text{ см}^3 \] а) Прямоугольное сечение (\( h = 2b \)): \[ W_x = \frac{bh^2}{6} = \frac{b(2b)^2}{6} = \frac{2}{3}b^3 \] \[ b = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 100}{2}} = \sqrt[3]{150} \approx 5,31 \text{ см} \] \[ h = 2b \approx 10,62 \text{ см} \] б) Круглое сечение: \[ W_x = \frac{\pi d^3}{32} \approx 0,1 d^3 \] \[ d = \sqrt[3]{\frac{100}{0,1}} = \sqrt[3]{1000} = 10,0 \text{ см} \] Ответ: Реакции: \( R_y = 4 \) кН, \( M_A = 8 \) кНм. Размеры сечения: прямоугольник \( 5,4 \times 10,8 \) см; круг \( d = 10,0 \) см (с учетом стандартных размеров).