Задача 4. Решите уравнение \(ax^2 - (2a - 3)x + a + 2 = 0\) относительно переменной \(x\).
Решение:
Данное уравнение является квадратным уравнением вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где:
- \(A = a\)
- \(B = -(2a - 3)\)
- \(C = a + 2\)
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Коэффициент \(a = 0\).
Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид:
\[0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 - 3)x + 0 + 2 = 0\] \[-(-3)x + 2 = 0\] \[3x + 2 = 0\] \[3x = -2\] \[x = -\frac{2}{3}\]Таким образом, при \(a = 0\) уравнение имеет единственное решение \(x = -\frac{2}{3}\).
Случай 2: Коэффициент \(a \neq 0\).
В этом случае уравнение является квадратным. Найдем дискриминант \(D\):
\[D = B^2 - 4AC\] \[D = (-(2a - 3))^2 - 4 \cdot a \cdot (a + 2)\] \[D = (2a - 3)^2 - 4a(a + 2)\]Раскроем скобки:
\[D = (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 + 8a)\] \[D = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 - 8a\] \[D = -20a + 9\]Теперь рассмотрим возможные значения дискриминанта:
Подслучай 2.1: \(D > 0\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня.
\[-20a + 9 > 0\] \[9 > 20a\] \[a < \frac{9}{20}\]В этом случае корни находятся по формуле:
\[x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\] \[x_{1,2} = \frac{-(-(2a - 3)) \pm \sqrt{-20a + 9}}{2a}\] \[x_{1,2} = \frac{2a - 3 \pm \sqrt{-20a + 9}}{2a}\]Эти корни существуют при \(a \neq 0\) и \(a < \frac{9}{20}\).
Подслучай 2.2: \(D = 0\).
Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих корня).
\[-20a + 9 = 0\] \[9 = 20a\] \[a = \frac{9}{20}\]В этом случае корень находится по формуле:
\[x = \frac{-B}{2A}\] \[x = \frac{2a - 3}{2a}\]Подставим значение \(a = \frac{9}{20}\):
\[x = \frac{2 \cdot \frac{9}{20} - 3}{2 \cdot \frac{9}{20}}\] \[x = \frac{\frac{9}{10} - 3}{\frac{9}{10}}\] \[x = \frac{\frac{9 - 30}{10}}{\frac{9}{10}}\] \[x = \frac{-\frac{21}{10}}{\frac{9}{10}}\] \[x = -\frac{21}{9}\] \[x = -\frac{7}{3}\]Таким образом, при \(a = \frac{9}{20}\) уравнение имеет один корень \(x = -\frac{7}{3}\).
Подслучай 2.3: \(D < 0\).
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.
\[-20a + 9 < 0\] \[9 < 20a\] \[a > \frac{9}{20}\]В этом случае действительных решений нет.
Сводка результатов:
- Если \(a = 0\), то \(x = -\frac{2}{3}\).
- Если \(a = \frac{9}{20}\), то \(x = -\frac{7}{3}\).
- Если \(a < \frac{9}{20}\) и \(a \neq 0\), то \(x_{1,2} = \frac{2a - 3 \pm \sqrt{-20a + 9}}{2a}\).
- Если \(a > \frac{9}{20}\), то действительных корней нет.
Ответ:
- При \(a = 0\), \(x = -\frac{2}{3}\).
- При \(a = \frac{9}{20}\), \(x = -\frac{7}{3}\).
- При \(a < \frac{9}{20}\) и \(a \neq 0\), \(x_{1,2} = \frac{2a - 3 \pm \sqrt{-20a + 9}}{2a}\).
- При \(a > \frac{9}{20}\), действительных корней нет.