Решение задачи 14: Разложение в ряд Фурье

Задание 1. Вариант 14. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом \( 2\pi \), заданную графически на отрезке \( [-\pi; \pi] \). Решение: 1. Аналитическое описание функции. Согласно графику 14, функция на периоде \( [-\pi; \pi] \) имеет вид: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi \le x < -\frac{\pi}{2} \\ \pi, & -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \\ 0, & \frac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases} \] Данная функция является четной, так как \( f(-x) = f(x) \). Следовательно, коэффициенты \( b_n = 0 \), и ряд Фурье будет содержать только косинусы. 2. Вычисление коэффициента \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx \] \[ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \pi dx + \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi} 0 dx = \frac{2}{\pi} \cdot \pi \cdot [x]_0^{\pi/2} = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \] 3. Вычисление коэффициентов \( a_n \): \[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \pi \cos(nx) dx \] \[ a_n = 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos(nx) dx = 2 \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi/2} = \frac{2}{n} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \] Рассмотрим значения \( a_n \) для разных \( n \): - Если \( n \) четное (\( n = 2k \)), то \( \sin(k\pi) = 0 \), значит \( a_{2k} = 0 \). - Если \( n \) нечетное (\( n = 2k-1 \)), то \( \sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}\right) = (-1)^{k-1} \). Тогда \( a_{2k-1} = \frac{2}{2k-1} (-1)^{k-1} \). 4. Запись ряда Фурье: Общая формула ряда Фурье для четной функции: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \] Подставляем найденные коэффициенты: \[ f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k-1}}{2k-1} \cos((2k-1)x) \] Или в развернутом виде: \[ f(x) = \frac{\pi}{2} + 2 \left( \cos x - \frac{1}{3} \cos 3x + \frac{1}{5} \cos 5x - \dots \right) \] Ответ: \( f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k-1}}{2k-1} \cos((2k-1)x) \).