Решение: Восстановление аналитической функции по действительной части

Задача: Восстановить аналитическую функцию \( f(z) = u + iv \), если известна её действительная часть: \[ u(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2} + x \] Решение: Для того чтобы функция \( f(z) \) была аналитической, её действительная часть \( u \) и мнимая часть \( v \) должны удовлетворять условиям Коши-Римана: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] 1. Найдем частные производные функции \( u(x, y) \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1 \cdot (x^2 + y^2) - x \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} + 1 = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + 1 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{0 \cdot (x^2 + y^2) - x \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \] 2. Используем первое условие Коши-Римана для нахождения \( v \): \[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + 1 \] Интегрируем по \( y \): \[ v = \int \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + 1 \right) dy \] Заметим, что \( \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{y}{x^2 + y^2} \right) = \frac{-(x^2 + y^2) + y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \). Следовательно: \[ v = -\frac{y}{x^2 + y^2} + y + \varphi(x) \] 3. Используем второе условие Коши-Римана для нахождения \( \varphi(x) \): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \] \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{y}{x^2 + y^2} + y + \varphi(x) \right) = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} + \varphi'(x) \] По условию это должно равняться \( -\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \). Отсюда: \[ \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} + \varphi'(x) = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \implies \varphi'(x) = 0 \implies \varphi(x) = C \] Таким образом, \( v(x, y) = -\frac{y}{x^2 + y^2} + y + C \). 4. Запишем функцию \( f(z) \): \[ f(z) = u + iv = \left( \frac{x}{x^2 + y^2} + x \right) + i \left( -\frac{y}{x^2 + y^2} + y + C \right) \] \[ f(z) = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} + (x + iy) + iC \] Учитывая, что \( z = x + iy \), \( \bar{z} = x - iy \) и \( z\bar{z} = x^2 + y^2 \): \[ f(z) = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} + z + iC = \frac{1}{z} + z + iC \] Ответ: \( f(z) = \frac{1}{z} + z + iC \), где \( C \) — произвольная действительная константа.