Решение задачи 2.14: Разложение в ряд Фурье по косинусам

Задание 2.14. Разложить функцию \( f(t) \) в ряд Фурье по косинусам, продолжая её чётным образом. Дано: \[ f(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t < 1 \\ 1 + t^2, & 1 \le t \le 2 \end{cases} \] Решение: Для разложения функции в ряд Фурье по косинусам на отрезке \( [0, l] \), мы продолжаем её чётным образом на отрезок \( [-l, 0] \). В данном случае \( l = 2 \). Ряд Фурье по косинусам имеет вид: \[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n \pi t}{l}\right) \] где коэффициенты вычисляются по формулам: \[ a_0 = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(t) dt \] \[ a_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(t) \cos\left(\frac{n \pi t}{l}\right) dt \] 1. Вычислим коэффициент \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{2}{2} \left( \int_{0}^{1} 2 dt + \int_{1}^{2} (1 + t^2) dt \right) = \int_{0}^{1} 2 dt + \int_{1}^{2} 1 dt + \int_{1}^{2} t^2 dt \] \[ a_0 = [2t]_0^1 + [t]_1^2 + \left[\frac{t^3}{3}\right]_1^2 = (2 - 0) + (2 - 1) + \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) = 2 + 1 + \frac{7}{3} = 3 + 2\frac{1}{3} = \frac{16}{3} \] 2. Вычислим коэффициенты \( a_n \): \[ a_n = \frac{2}{2} \left( \int_{0}^{1} 2 \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt + \int_{1}^{2} (1 + t^2) \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt \right) \] Разобьем на интегралы: \[ a_n = 2 \int_{0}^{1} \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt + \int_{1}^{2} \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt + \int_{1}^{2} t^2 \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt \] Первые два интеграла: \[ \left[ \frac{4}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi t}{2}\right) \right]_0^1 + \left[ \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi t}{2}\right) \right]_1^2 = \frac{4}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{2}{n \pi} (\sin(n \pi) - \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)) \] Так как \( \sin(n \pi) = 0 \), получаем: \[ \frac{4}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) - \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) = \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) \] Вычислим интеграл \( \int t^2 \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt \) методом интегрирования по частям дважды: \[ \int t^2 \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) dt = \frac{2t^2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi t}{2}\right) + \frac{8t}{(n \pi)^2} \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) - \frac{16}{(n \pi)^3} \sin\left(\frac{n \pi t}{2}\right) \] Подставим пределы от 1 до 2: \[ \left( \frac{8}{n \pi} \sin(n \pi) + \frac{16}{(n \pi)^2} \cos(n \pi) - \frac{16}{(n \pi)^3} \sin(n \pi) \right) - \left( \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{8}{(n \pi)^2} \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - \frac{16}{(n \pi)^3} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) \right) \] Учитывая \( \sin(n \pi) = 0 \) и \( \cos(n \pi) = (-1)^n \): \[ \frac{16(-1)^n}{(n \pi)^2} - \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) - \frac{8}{(n \pi)^2} \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{16}{(n \pi)^3} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) \] Складываем все части для \( a_n \): \[ a_n = \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{16(-1)^n}{(n \pi)^2} - \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) - \frac{8}{(n \pi)^2} \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{16}{(n \pi)^3} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) \] \[ a_n = \frac{16(-1)^n - 8 \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right)}{(n \pi)^2} + \frac{16 \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)}{(n \pi)^3} \] Итоговый ряд Фурье: \[ f(t) = \frac{8}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{16(-1)^n - 8 \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right)}{(n \pi)^2} + \frac{16 \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)}{(n \pi)^3} \right) \cos\left(\frac{n \pi t}{2}\right) \]