Решение задачи: Доверительный интервал для математического ожидания

Хорошо, давайте решим задачу 3, используя данные из Таблицы 4.3, Вариант-3. Задача 3: Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания \(a\), в предположении нормальности распределения с надежностью 0,95 по: а) имеющимся данным количественного признака \(X\); б) по первой половине выборки для признака \(X\). Сначала выпишем все данные из Таблицы 4.3, Вариант-3: 4, 3, 4, 6, 6, 11, 4, 6, 5, 6 10, 9, 8, 7, 9, 5, 10, 7, 8, 5 9, 8, 9, 8, 7, 6, 4, 13, 8, 4 6, 8, 10, 6, 10, 7, 10, 9, 6, 7 7, 9, 9, 9, 8, 6, 10, 8, 5, 7 Всего у нас \(N = 5 \times 10 = 50\) значений. Пункт а) Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания \(a\) по всем имеющимся данным. Шаг 1: Вычислим выборочное среднее \(\bar{x}\). Сумма всех значений: \(S = 4+3+4+6+6+11+4+6+5+6 + 10+9+8+7+9+5+10+7+8+5 + 9+8+9+8+7+6+4+13+8+4 + 6+8+10+6+10+7+10+9+6+7 + 7+9+9+9+8+6+10+8+5+7\) \(S = 350\) Выборочное среднее: \[\bar{x} = \frac{S}{N} = \frac{350}{50} = 7\] Шаг 2: Вычислим выборочную дисперсию \(D_B\) и выборочное среднее квадратическое отклонение \(\sigma_B\). Формула для выборочной дисперсии: \[D_B = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2\] Для удобства можно использовать формулу: \[D_B = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\bar{x})^2\] Сумма квадратов всех значений: \(S_2 = 4^2+3^2+4^2+6^2+6^2+11^2+4^2+6^2+5^2+6^2 + 10^2+9^2+8^2+7^2+9^2+5^2+10^2+7^2+8^2+5^2 + 9^2+8^2+9^2+8^2+7^2+6^2+4^2+13^2+8^2+4^2 + 6^2+8^2+10^2+6^2+10^2+7^2+10^2+9^2+6^2+7^2 + 7^2+9^2+9^2+9^2+8^2+6^2+10^2+8^2+5^2+7^2\) \(S_2 = 16+9+16+36+36+121+16+36+25+36 + 100+81+64+49+81+25+100+49+64+25 + 81+64+81+64+49+36+16+169+64+16 + 36+64+100+36+100+49+100+81+36+49 + 49+81+81+81+64+36+100+64+25+49\) \(S_2 = 2740\) Выборочная дисперсия: \[D_B = \frac{2740}{50} - 7^2 = 54.8 - 49 = 5.8\] Выборочное среднее квадратическое отклонение: \[\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{5.8} \approx 2.408\] Шаг 3: Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение \(s\). Для оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии генеральной совокупности используется исправленное среднее квадратическое отклонение: \[s = \sqrt{\frac{N}{N-1} D_B} = \sqrt{\frac{50}{49} \times 5.8} = \sqrt{1.0204 \times 5.8} = \sqrt{5.9183} \approx 2.433\] Шаг 4: Определим доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания \(a\) при неизвестной дисперсии и большом объеме выборки (обычно \(N > 30\)) определяется по формуле: \[\bar{x} - t_{\alpha/2, N-1} \frac{s}{\sqrt{N}} < a < \bar{x} + t_{\alpha/2, N-1} \frac{s}{\sqrt{N}}\] где \(t_{\alpha/2, N-1}\) - квантиль распределения Стьюдента с \(N-1\) степенями свободы и уровнем значимости \(\alpha\). Надежность \(P = 0.95\), значит \(\alpha = 1 - P = 0.05\). Тогда \(\alpha/2 = 0.025\). Число степеней свободы \(k = N-1 = 50-1 = 49\). По таблице распределения Стьюдента для \(k=49\) и \(\alpha/2=0.025\) находим \(t_{0.025, 49} \approx 2.0096\). Вычислим предельную ошибку выборки \(\Delta\): \[\Delta = t_{\alpha/2, N-1} \frac{s}{\sqrt{N}} = 2.0096 \times \frac{2.433}{\sqrt{50}} = 2.0096 \times \frac{2.433}{7.071} \approx 2.0096 \times 0.344 \approx 0.691\] Доверительный интервал: \[7 - 0.691 < a < 7 + 0.691\] \[6.309 < a < 7.691\] Ответ на пункт а): Доверительный интервал для математического ожидания \(a\) по всем данным с надежностью 0,95 составляет \([6.309; 7.691]\). Пункт б) Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания \(a\) по первой половине выборки для признака \(X\). Первая половина выборки - это первые 25 значений. 4, 3, 4, 6, 6, 11, 4, 6, 5, 6 10, 9, 8, 7, 9, 5, 10, 7, 8, 5 9, 8, 9, 8, 7 Всего у нас \(N_1 = 25\) значений. Шаг 1: Вычислим выборочное среднее \(\bar{x}_1\) для первой половины. Сумма первых 25 значений: \(S_1 = 4+3+4+6+6+11+4+6+5+6 + 10+9+8+7+9+5+10+7+8+5 + 9+8+9+8+7\) \(S_1 = 175\) Выборочное среднее: \[\bar{x}_1 = \frac{S_1}{N_1} = \frac{175}{25} = 7\] Шаг 2: Вычислим выборочную дисперсию \(D_{B1}\) и выборочное среднее квадратическое отклонение \(\sigma_{B1}\) для первой половины. Сумма квадратов первых 25 значений: \(S_{21} = 4^2+3^2+4^2+6^2+6^2+11^2+4^2+6^2+5^2+6^2 + 10^2+9^2+8^2+7^2+9^2+5^2+10^2+7^2+8^2+5^2 + 9^2+8^2+9^2+8^2+7^2\) \(S_{21} = 16+9+16+36+36+121+16+36+25+36 + 100+81+64+49+81+25+100+49+64+25 + 81+64+81+64+49\) \(S_{21} = 1309\) Выборочная дисперсия: \[D_{B1} = \frac{1309}{25} - 7^2 = 52.36 - 49 = 3.36\] Выборочное среднее квадратическое отклонение: \[\sigma_{B1} = \sqrt{D_{B1}} = \sqrt{3.36} \approx 1.833\] Шаг 3: Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение \(s_1\). \[s_1 = \sqrt{\frac{N_1}{N_1-1} D_{B1}} = \sqrt{\frac{25}{24} \times 3.36} = \sqrt{1.0417 \times 3.36} = \sqrt{3.5001} \approx 1.871\] Шаг 4: Определим доверительный интервал. Надежность \(P = 0.95\), значит \(\alpha = 0.05\). Тогда \(\alpha/2 = 0.025\). Число степеней свободы \(k_1 = N_1-1 = 25-1 = 24\). По таблице распределения Стьюдента для \(k_1=24\) и \(\alpha/2=0.025\) находим \(t_{0.025, 24} \approx 2.064\). Вычислим предельную ошибку выборки \(\Delta_1\): \[\Delta_1 = t_{\alpha/2, N_1-1} \frac{s_1}{\sqrt{N_1}} = 2.064 \times \frac{1.871}{\sqrt{25}} = 2.064 \times \frac{1.871}{5} \approx 2.064 \times 0.3742 \approx 0.772\] Доверительный интервал: \[7 - 0.772 < a < 7 + 0.772\] \[6.228 < a < 7.772\] Ответ на пункт б): Доверительный интервал для математического ожидания \(a\) по первой половине выборки с надежностью 0,95 составляет \([6.228; 7.772]\).