Решение билета №17: Линейные уравнения и системы уравнений

Экзаменационный билет № 17 1. Линейные уравнения Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида \(ax = b\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа. Если \(a \neq 0\), то уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\). Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида \(ax + by = c\). Графиком такого уравнения является прямая. 2. Система линейных уравнений Система линейных уравнений — это совокупность уравнений, для которых требуется найти общие решения. Решением системы называется пара чисел (или набор чисел), которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное равенство. Основные методы решения: метод подстановки, метод сложения, графический метод и метод Гаусса. 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) заключается в преобразовании системы уравнений к ступенчатому (треугольному) виду. С помощью элементарных преобразований строк (умножение уравнения на число, сложение уравнений) исключаются переменные, после чего значения переменных находятся последовательно, начиная с последнего уравнения. 4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x + y = 1 \end{cases} \] Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = 8 + 2y \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ 2(8 + 2y) + y = 1 \] \[ 16 + 4y + y = 1 \] \[ 5y = 1 - 16 \] \[ 5y = -15 \] \[ y = -3 \] Теперь найдем \(x\): \[ x = 8 + 2 \cdot (-3) = 8 - 6 = 2 \] Ответ: (2; -3). 5. Решите систему уравнений методом Гаусса: \[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 2z = 10 \\ 3x + 3y + z = 12 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 8 \\ 2 & 1 & 2 & | & 10 \\ 3 & 3 & 1 & | & 12 \end{pmatrix} \] Шаг 1. Исключим \(x\) из 2-й и 3-й строк. Из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. Из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 8 \\ 0 & -3 & 0 & | & -6 \\ 0 & -3 & -2 & | & -12 \end{pmatrix} \] Шаг 2. Из 3-й строки вычтем 2-ю строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 8 \\ 0 & -3 & 0 & | & -6 \\ 0 & 0 & -2 & | & -6 \end{pmatrix} \] Шаг 3. Находим переменные из полученной треугольной системы: Из 2-й строки: \(-3y = -6 \Rightarrow y = 2\). Из 3-й строки: \(-2z = -6 \Rightarrow z = 3\). Из 1-й строки: \(x + 2y + z = 8 \Rightarrow x + 2(2) + 3 = 8 \Rightarrow x + 4 + 3 = 8 \Rightarrow x = 1\). Ответ: (1; 2; 3).