Решение уравнения 5sinx - 2cosx = 1

Решение: Дано уравнение: \[ 5\sin(x) - 2\cos(x) = 1 \] Это линейное неоднородное уравнение относительно синуса и косинуса вида \( a\sin(x) + b\cos(x) = c \). Решим его методом введения вспомогательного угла. 1. Разделим обе части уравнения на корень из суммы квадратов коэффициентов при \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\): \[ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] Получаем: \[ \frac{5}{\sqrt{29}}\sin(x) - \frac{2}{\sqrt{29}}\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{29}} \] 2. Пусть вспомогательный угол \(\alpha\) таков, что: \[ \cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{29}}, \quad \sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{29}} \] Тогда \(\text{tg}(\alpha) = \frac{2}{5}\), откуда \(\alpha = \text{arctg}(0,4)\). 3. Используем формулу синуса разности \(\sin(x - \alpha) = \sin(x)\cos(\alpha) - \cos(x)\sin(\alpha)\): \[ \sin(x - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{29}} \] 4. Находим значение аргумента: \[ x - \alpha = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{29}}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 5. Выражаем \(x\): \[ x = \text{arctg}(0,4) + (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{29}}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \[ x = \text{arctg}(0,4) + (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{29}}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]