Решение задачи: Построение линейного классификатора (перцептрона)

На основе представленного изображения, перед нами стоит задача, связанная с основами машинного обучения или линейной алгебры, а именно — построение линейного классификатора (перцептрона) для разделения точек на плоскости. Дана таблица с обучающей выборкой: Точка \(x^1 = (0, 0)\), целевое значение \(y = 0\), выход алгоритма \(a = 0\). Точка \(x^2 = (0, 1)\), целевое значение \(y = 1\), выход алгоритма \(a = 2\). Точка \(x^3 = (1, 0)\), целевое значение \(y = 0\), выход алгоритма \(a = 3\). Точка \(x^4 = (1, 1)\), целевое значение \(y = 1\), выход алгоритма \(a = -5\). Судя по графику и значениям \(y\), нам нужно найти разделяющую прямую для логической функции (в данном случае это функция, где результат зависит от координаты \(x_2\)). Решение для тетради: 1. Постановка задачи Нам даны точки \(x^i = (x_1, x_2)\) и их метки классов \(y(x^i)\). Необходимо определить уравнение разделяющей прямой вида: \[w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_0 = 0\] 2. Анализ данных Из таблицы видно, что: Если \(x_2 = 0\), то \(y = 0\) (точки \((0,0)\) и \((1,0)\)). Если \(x_2 = 1\), то \(y = 1\) (точки \((0,1)\) и \((1,1)\)). Это означает, что классификация зависит только от второй координаты \(x_2\). Разделяющая прямая должна проходить горизонтально между значениями \(x_2 = 0\) и \(x_2 = 1\). 3. Определение весов Возьмем простейший случай разделяющей прямой: \(x_2 = 0.5\). Перенесем всё в одну сторону, чтобы получить канонический вид: \[x_2 - 0.5 = 0\] Следовательно, веса модели будут: \[w_1 = 0\] \[w_2 = 1\] \[w_0 = -0.5\] 4. Проверка решающего правила Решающее правило имеет вид: \(a(x) = sign(w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_0)\). Для точки \((0,0)\): \(sign(0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 0.5) = sign(-0.5) = 0\) (отрицательный класс). Для точки \((0,1)\): \(sign(0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 0.5) = sign(0.5) = 1\) (положительный класс). 5. Ответ Уравнение разделяющей прямой: \[x_2 - 0.5 = 0\] Веса нейрона (перцептрона): \[w = (0, 1), \text{ смещение } b = -0.5\]