Решение задачи: Математические символы и обозначения

Вариант № 16 Задание 1. Математические символы и обозначения при построении и исследовании математических моделей. При построении математических моделей используются следующие основные группы символов: 1. Переменные: обычно обозначаются латинскими буквами \(x, y, z\) или \(x_1, x_2, \dots, x_n\). Они представляют искомые величины или параметры системы. 2. Константы и коэффициенты: обозначаются буквами \(a, b, c\) или \(k\). Это фиксированные величины, определяющие свойства модели. 3. Функции: обозначаются как \(f(x), g(x)\) или \(Z\). Они описывают зависимости между переменными. 4. Символы отношений: \(=\) (равно), \(>\) (больше), \(<\) (меньше), \(\ge\) (больше или равно), \(\le\) (меньше или равно). 5. Операторы: \(\sum\) (сумма), \(\int\) (интеграл), \(\Delta\) (изменение), \(\to\) (стремление к пределу или оптимизация). Задание 2. Приведите пример Марковского процесса. Марковский процесс — это процесс, в котором будущее состояние системы зависит только от её текущего состояния и не зависит от того, как система пришла в это состояние (отсутствие последействия). Пример: Процесс игры в "Монополию" или любую настольную игру с кубиком. Положение фишки игрока на поле после следующего хода зависит только от того, где она стоит сейчас, и от числа, выпавшего на кубике. Совершенно не важно, какими путями фишка попала в текущую клетку пять ходов назад. Задание 3. Решите уравнения (задачу линейного программирования) с использованием графического метода. Условие: Целевая функция: \[F = 2X_1 + 3X_2 \to \max\] Ограничения: 1) \(X_1 + 4X_2 \ge 8\) 2) \(X_1 \le 4\) 3) \(2X_1 \ge 5 \implies X_1 \ge 2.5\) 4) \(X_1, X_2 \ge 0\) Решение: 1. Построим область допустимых решений (ОДР). Для каждого неравенства построим прямую: - Прямая L1: \(X_1 + 4X_2 = 8\). При \(X_1 = 0, X_2 = 2\). При \(X_2 = 0, X_1 = 8\). Проводим линию через точки (0; 2) и (8; 0). Так как знак \(\ge\), заштриховываем область выше прямой. - Прямая L2: \(X_1 = 4\). Вертикальная прямая. Область слева (\(X_1 \le 4\)). - Прямая L3: \(X_1 = 2.5\). Вертикальная прямая. Область справа (\(X_1 \ge 2.5\)). - Условия \(X_1, X_2 \ge 0\) ограничивают нас первой четвертью координат. 2. Определим ОДР. Это бесконечная полоса по вертикали, ограниченная снизу прямой L1, слева прямой \(X_1 = 2.5\) и справа прямой \(X_1 = 4\). Однако, так как мы ищем максимум функции \(F = 2X_1 + 3X_2\), а переменная \(X_2\) в данной системе ограничений сверху ничем не ограничена (она может расти до бесконечности), то значение целевой функции будет стремиться к бесконечности. 3. Анализ целевой функции. Вектор градиента целевой функции \(\vec{c} = (2; 3)\) указывает направление наиболее быстрого роста функции. При движении в этом направлении внутри ОДР мы видим, что координата \(X_2\) может увеличиваться неограниченно, оставаясь в рамках условий \(2.5 \le X_1 \le 4\) и \(X_1 + 4X_2 \ge 8\). Вывод: Так как область допустимых решений не ограничена сверху по оси \(X_2\), целевая функция \(F = 2X_1 + 3X_2\) не достигает своего максимума (стремится к бесконечности). Ответ: Решение неограничено, \(F_{max} \to \infty\).