Решение задач с матрицами: определители и сложение

Ниже представлены решения задач с фотографии, оформленные для записи в тетрадь. 1) Вычисление определителя второго порядка: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 8 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 24 + 2 = 26 \] 2) Вычисление определителя третьего порядка (матрица треугольного вида): Так как ниже главной диагонали стоят нули, определитель равен произведению элементов главной диагонали: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 8 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \] 3) Сложение матриц: Для сложения матриц нужно сложить их соответствующие элементы: \[ \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+3 & -1+4 \\ 2+1 & 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \] 4) Умножение матриц: Умножаем строку первой матрицы на столбец второй матрицы: \[ \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 & 8 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 & 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 24 - 1 & 32 - 2 \\ 6 + 3 & 8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 30 \\ 9 & 14 \end{pmatrix} \] 5) Транспонирование матрицы: Для получения транспонированной матрицы \( A^T \) нужно заменить строки матрицы \( A \) на её столбцы: \[ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] \[ A^T = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \]