Решение контрольной работы №1 по алгебре 8 класс, Вариант 2

Вот решение контрольной работы по алгебре для 8 класса, Вариант 2. Контрольная работа №1 «Алгебраическая дробь» Вариант 2 1. Сократить дробь: а) \[ \frac{28xy^5}{35x^3y} \] Решение: Разложим числа на множители и сократим степени переменных. \[ \frac{28xy^5}{35x^3y} = \frac{4 \cdot 7 \cdot x \cdot y^5}{5 \cdot 7 \cdot x^3 \cdot y} \] Сокращаем 7, \(x\) и \(y\): \[ = \frac{4 \cdot y^{5-1}}{5 \cdot x^{3-1}} = \frac{4y^4}{5x^2} \] Ответ: \[ \frac{4y^4}{5x^2} \] б) \[ \frac{10n}{n^2+10n} \] Решение: Вынесем общий множитель \(n\) из знаменателя. \[ \frac{10n}{n^2+10n} = \frac{10n}{n(n+10)} \] Сокращаем \(n\): \[ = \frac{10}{n+10} \] Ответ: \[ \frac{10}{n+10} \] в) \[ \frac{9k-9n}{k^2-n^2} \] Решение: Вынесем общий множитель 9 из числителя. Разложим знаменатель как разность квадратов \(k^2-n^2 = (k-n)(k+n)\). \[ \frac{9k-9n}{k^2-n^2} = \frac{9(k-n)}{(k-n)(k+n)} \] Сокращаем \((k-n)\): \[ = \frac{9}{k+n} \] Ответ: \[ \frac{9}{k+n} \] 2. Представьте в виде дроби: а) \[ \frac{7y+14}{y^2} + \frac{2y-7}{2y} \] Решение: Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(2y^2\). \[ \frac{7y+14}{y^2} + \frac{2y-7}{2y} = \frac{2(7y+14)}{2y^2} + \frac{y(2y-7)}{2y^2} \] Раскроем скобки в числителях: \[ = \frac{14y+28}{2y^2} + \frac{2y^2-7y}{2y^2} \] Сложим числители: \[ = \frac{14y+28+2y^2-7y}{2y^2} \] Приведем подобные слагаемые: \[ = \frac{2y^2 + (14y-7y) + 28}{2y^2} = \frac{2y^2+7y+28}{2y^2} \] Ответ: \[ \frac{2y^2+7y+28}{2y^2} \] б) \[ \frac{2}{2a-3b} - \frac{2}{2a+3b} \] Решение: Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \((2a-3b)(2a+3b)\). \[ \frac{2}{2a-3b} - \frac{2}{2a+3b} = \frac{2(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{2(2a-3b)}{(2a-3b)(2a+3b)} \] Раскроем скобки в числителях: \[ = \frac{4a+6b}{(2a-3b)(2a+3b)} - \frac{4a-6b}{(2a-3b)(2a+3b)} \] Вычтем числители: \[ = \frac{(4a+6b) - (4a-6b)}{(2a-3b)(2a+3b)} \] \[ = \frac{4a+6b-4a+6b}{(2a-3b)(2a+3b)} \] Приведем подобные слагаемые: \[ = \frac{12b}{(2a-3b)(2a+3b)} \] Можно записать знаменатель как разность квадратов: \[ = \frac{12b}{4a^2-9b^2} \] Ответ: \[ \frac{12b}{4a^2-9b^2} \] в) \[ \frac{5a-3}{a^2-3a} - \frac{4}{a-3} \] Решение: Разложим знаменатель первой дроби: \(a^2-3a = a(a-3)\). \[ \frac{5a-3}{a(a-3)} - \frac{4}{a-3} \] Приведем дроби к общему знаменателю \(a(a-3)\). \[ = \frac{5a-3}{a(a-3)} - \frac{4a}{a(a-3)} \] Вычтем числители: \[ = \frac{5a-3-4a}{a(a-3)} \] Приведем подобные слагаемые: \[ = \frac{a-3}{a(a-3)} \] Сокращаем \((a-3)\): \[ = \frac{1}{a} \] Ответ: \[ \frac{1}{a} \] 3. Выполнить действия: а) \[ \frac{a^3}{5c^3} \cdot \frac{25c^4}{a} \] Решение: Умножим числители и знаменатели. \[ \frac{a^3}{5c^3} \cdot \frac{25c^4}{a} = \frac{a^3 \cdot 25c^4}{5c^3 \cdot a} \] Сократим числа и степени переменных: \[ = \frac{25}{5} \cdot \frac{a^3}{a} \cdot \frac{c^4}{c^3} \] \[ = 5 \cdot a^{3-1} \cdot c^{4-3} \] \[ = 5a^2c \] Ответ: \[ 5a^2c \] б) \[ 63x^4y : \frac{7}{9x^6y^2} \] Решение: Деление на дробь равно умножению на обратную дробь. \[ 63x^4y : \frac{7}{9x^6y^2} = 63x^4y \cdot \frac{9x^6y^2}{7} \] Представим \(63x^4y\) как дробь со знаменателем 1: \[ = \frac{63x^4y}{1} \cdot \frac{9x^6y^2}{7} \] Умножим числители и знаменатели: \[ = \frac{63 \cdot 9 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot y \cdot y^2}{7} \] Сократим 63 и 7, сложим степени переменных: \[ = \frac{9 \cdot 7 \cdot 9 \cdot x^{4+6} \cdot y^{1+2}}{7} \] \[ = 9 \cdot 9 \cdot x^{10} \cdot y^3 \] \[ = 81x^{10}y^3 \] Ответ: \[ 81x^{10}y^3 \] в) \[ \frac{2a-b}{m+n} \cdot \frac{a^2-b^2}{6a-3b} \] Решение: Разложим числитель второй дроби как разность квадратов: \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\). Вынесем общий множитель 3 из знаменателя второй дроби: \(6a-3b = 3(2a-b)\). \[ \frac{2a-b}{m+n} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{3(2a-b)} \] Сократим \((2a-b)\): \[ = \frac{1}{m+n} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{3} \] \[ = \frac{(a-b)(a+b)}{3(m+n)} \] Ответ: \[ \frac{(a-b)(a+b)}{3(m+n)} \] г) \[ \frac{m+n}{x^2-81} : \frac{m^2-n^2}{x^2-9x} \] Решение: Деление на дробь равно умножению на обратную дробь. \[ \frac{m+n}{x^2-81} \cdot \frac{x^2-9x}{m^2-n^2} \] Разложим знаменатели и числители на множители: \(x^2-81 = (x-9)(x+9)\) (разность квадратов) \(x^2-9x = x(x-9)\) (вынесение общего множителя) \(m^2-n^2 = (m-n)(m+n)\) (разность квадратов) \[ = \frac{m+n}{(x-9)(x+9)} \cdot \frac{x(x-9)}{(m-n)(m+n)} \] Сократим \((m+n)\) и \((x-9)\): \[ = \frac{1}{x+9} \cdot \frac{x}{m-n} \] \[ = \frac{x}{(x+9)(m-n)} \] Ответ: \[ \frac{x}{(x+9)(m-n)} \] 4. Упростить выражение: а) \[ \frac{3x}{x-3} + \frac{x+5}{6-2x} \cdot \frac{54}{5x+x^2} \] Решение: Сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители: \(6-2x = 2(3-x) = -2(x-3)\) \(5x+x^2 = x(5+x)\) \[ \frac{x+5}{6-2x} \cdot \frac{54}{5x+x^2} = \frac{x+5}{-2(x-3)} \cdot \frac{54}{x(x+5)} \] Сократим \((x+5)\) и 54 с -2: \[ = \frac{1}{-(x-3)} \cdot \frac{27}{x} \] \[ = \frac{-27}{x(x-3)} \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \frac{3x}{x-3} + \frac{-27}{x(x-3)} \] Приведем к общему знаменателю \(x(x-3)\): \[ = \frac{3x \cdot x}{x(x-3)} + \frac{-27}{x(x-3)} \] \[ = \frac{3x^2 - 27}{x(x-3)} \] Вынесем 3 из числителя: \[ = \frac{3(x^2 - 9)}{x(x-3)} \] Разложим \(x^2-9\) как разность квадратов: \((x-3)(x+3)\). \[ = \frac{3(x-3)(x+3)}{x(x-3)} \] Сократим \((x-3)\): \[ = \frac{3(x+3)}{x} \] Ответ: \[ \frac{3(x+3)}{x} \] б) \[ \frac{48x}{16-x^2} : \left( \frac{x+4}{x-4} - \frac{x-4}{x+4} \right) \] Решение: Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю \((x-4)(x+4)\). \[ \frac{x+4}{x-4} - \frac{x-4}{x+4} = \frac{(x+4)(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{(x-4)(x-4)}{(x-4)(x+4)} \] \[ = \frac{(x+4)^2 - (x-4)^2}{(x-4)(x+4)} \] Раскроем квадраты: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\), \((x-4)^2 = x^2-8x+16\). \[ = \frac{(x^2+8x+16) - (x^2-8x+16)}{(x-4)(x+4)} \] \[ = \frac{x^2+8x+16-x^2+8x-16}{(x-4)(x+4)} \] \[ = \frac{16x}{(x-4)(x+4)} \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение. Разложим знаменатель первой дроби: \(16-x^2 = (4-x)(4+x) = -(x-4)(x+4)\). \[ \frac{48x}{-(x-4)(x+4)} : \frac{16x}{(x-4)(x+4)} \] Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \[ \frac{48x}{-(x-4)(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{16x} \] Сократим \((x-4)(x+4)\) и \(x\): \[ = \frac{48}{-(1)} \cdot \frac{1}{16} \] \[ = \frac{48}{-16} \] \[ = -3 \] Ответ: \[ -3 \]