Решение задачи: Закон Вина и Стефана-Больцмана

Ниже представлены решения задач с фотографий, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Пример 3 Дано: \( \lambda_m = 484 \, \text{нм} = 484 \cdot 10^{-9} \, \text{м} \) \( b = 2,9 \cdot 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К} \) (постоянная Вина) \( \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4) \) (постоянная Стефана-Больцмана) Найти: \( R_e \) — ? Решение: 1. Согласно закону смещения Вина, температура абсолютно черного тела (АЧТ) связана с длиной волны максимума излучения формулой: \[ T = \frac{b}{\lambda_m} \] 2. Энергетическая светимость АЧТ определяется законом Стефана-Больцмана: \[ R_e = \sigma T^4 \] 3. Подставим выражение для температуры в формулу светимости: \[ R_e = \sigma \left( \frac{b}{\lambda_m} \right)^4 \] 4. Вычислим: \[ T = \frac{2,9 \cdot 10^{-3}}{484 \cdot 10^{-9}} \approx 5992 \, \text{К} \] \[ R_e = 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot (5992)^4 \approx 7,3 \cdot 10^7 \, \text{Вт}/\text{м}^2 \] Ответ: \( R_e \approx 73 \, \text{МВт}/\text{м}^2 \). Пример 4 (про лампочку) Дано: \( d = 0,3 \, \text{мм} = 3 \cdot 10^{-4} \, \text{м} \) \( l = 5 \, \text{см} = 0,05 \, \text{м} \) \( U = 127 \, \text{В} \) \( I = 0,31 \, \text{А} \) \( \alpha = 0,31 \) \( \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4) \) Найти: \( T \) — ? Решение: 1. Мощность, выделяемая в спирали: \( P = U \cdot I \). 2. Мощность излучения серого тела: \( P_{изл} = \alpha \sigma T^4 S \), где \( S \) — площадь поверхности спирали. 3. Площадь поверхности цилиндрической проволоки: \( S = \pi d l \). 4. По условию теплового равновесия: \( U I = \alpha \sigma T^4 \pi d l \). 5. Выразим температуру: \[ T = \sqrt[4]{\frac{U I}{\alpha \sigma \pi d l}} \] 6. Вычислим: \[ T = \sqrt[4]{\frac{127 \cdot 0,31}{0,31 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot 10^{-4} \cdot 0,05}} \approx 2620 \, \text{К} \] Ответ: \( T \approx 2620 \, \text{К} \). Пример 6 Дано: \( T = 310 \, \text{К} \) \( b = 2,9 \cdot 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К} \) Найти: \( \lambda_m \) — ? Решение: Используем закон смещения Вина: \[ \lambda_m = \frac{b}{T} \] Вычислим: \[ \lambda_m = \frac{2,9 \cdot 10^{-3}}{310} \approx 9,35 \cdot 10^{-6} \, \text{м} = 9,35 \, \text{мкм} \] Ответ: \( \lambda_m = 9,35 \, \text{мкм} \). Пример 2 (занятие 2) Дано: \( \lambda = 500 \, \text{нм} = 5 \cdot 10^{-7} \, \text{м} \) \( p = 10 \, \text{мкПа} = 10^{-5} \, \text{Па} \) \( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с} \) \( h = 6,63 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \) Найти: \( n \) (концентрация фотонов) — ? Решение: 1. Давление света на зачерненную поверхность (коэффициент отражения \( \rho = 0 \)): \[ p = \frac{I}{c} = w \] где \( w \) — объемная плотность энергии. 2. Объемная плотность энергии связана с концентрацией фотонов \( n \) и энергией одного фотона \( \varepsilon \): \[ w = n \varepsilon = n \frac{hc}{\lambda} \] 3. Приравниваем: \( p = n \frac{hc}{\lambda} \). 4. Выразим концентрацию: \[ n = \frac{p \lambda}{hc} \] 5. Вычислим: \[ n = \frac{10^{-5} \cdot 5 \cdot 10^{-7}}{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8} \approx 2,5 \cdot 10^{13} \, \text{м}^{-3} \] Ответ: \( n \approx 2,5 \cdot 10^{13} \, \text{м}^{-3} \). Пример 4 (занятие 2) Дано: \( \lambda = 5 \cdot 10^{-7} \, \text{м} \) \( p = 10 \, \text{мкПа} = 10^{-5} \, \text{Па} \) \( t = 1 \, \text{с} \) \( S = 1 \, \text{см}^2 = 10^{-4} \, \text{м}^2 \) Найти: \( N \) — ? Решение: 1. Давление на черную поверхность: \( p = \frac{E_e}{c} \), где \( E_e \) — облученность (интенсивность). 2. Энергия, падающая на поверхность: \( W = E_e S t = p c S t \). 3. Число фотонов: \( N = \frac{W}{\varepsilon} = \frac{p c S t}{hc / \lambda} = \frac{p S t \lambda}{h} \). 4. Вычислим: \[ N = \frac{10^{-5} \cdot 10^{-4} \cdot 1 \cdot 5 \cdot 10^{-7}}{6,63 \cdot 10^{-34}} \approx 7,5 \cdot 10^{17} \] Ответ: \( N \approx 7,5 \cdot 10^{17} \).