Хорошо, давайте разберем вопрос, который виден на изображении.
Вопрос:
2. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
Ответ:
2. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
Корреляционная таблица
Корреляционная таблица (или таблица сопряженности) используется для представления совместного распределения двух дискретных или сгруппированных количественных признаков. Она показывает, как часто определенные значения одного признака встречаются вместе с определенными значениями другого признака.
Предположим, у нас есть два признака \(X\) и \(Y\).
Пусть признак \(X\) принимает значения \(x_1, x_2, \dots, x_k\), а признак \(Y\) принимает значения \(y_1, y_2, \dots, y_m\).
Корреляционная таблица будет иметь вид:
|
Значения признака \(Y\) |
Сумма по \(X\) |
| \(y_1\) |
\(y_2\) |
... |
\(y_m\) |
| Значения признака \(X\) |
|
|
|
|
|
| \(x_1\) |
\(n_{11}\) |
\(n_{12}\) |
... |
\(n_{1m}\) |
\(n_{1.}\) |
| \(x_2\) |
\(n_{21}\) |
\(n_{22}\) |
... |
\(n_{2m}\) |
\(n_{2.}\) |
| ... |
... |
... |
... |
... |
... |
| \(x_k\) |
\(n_{k1}\) |
\(n_{k2}\) |
... |
\(n_{km}\) |
\(n_{k.}\) |
| Сумма по \(Y\) |
\(n_{.1}\) |
\(n_{.2}\) |
... |
\(n_{.m}\) |
\(N\) |
Где:
* \(n_{ij}\) — частота, с которой значение \(x_i\) признака \(X\) встречается вместе со значением \(y_j\) признака \(Y\).
* \(n_{i.}\) — сумма частот по строке \(i\), то есть частота значения \(x_i\).
* \(n_{.j}\) — сумма частот по столбцу \(j\), то есть частота значения \(y_j\).
* \(N\) — общая сумма всех частот, то есть объем выборки.
Выборочный коэффициент корреляции
Выборочный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона) — это мера линейной зависимости между двумя количественными переменными. Он показывает, насколько сильно и в каком направлении (прямая или обратная) связаны две переменные.
Формула для выборочного коэффициента корреляции \(r_{xy}\) выглядит так:
\[r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{N} (y_i - \bar{y})^2}}\]
Где:
* \(x_i\) и \(y_i\) — отдельные значения признаков \(X\) и \(Y\) в \(i\)-й паре наблюдений.
* \(\bar{x}\) — выборочное среднее арифметическое для признака \(X\).
* \(\bar{y}\) — выборочное среднее арифметическое для признака \(Y\).
* \(N\) — объем выборки (количество пар наблюдений).
Эту формулу можно также записать через ковариацию и стандартные отклонения:
\[r_{xy} = \frac{Cov(X, Y)}{S_x S_y}\]
Где:
* \(Cov(X, Y) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) — выборочная ковариация.
* \(S_x = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}\) — выборочное стандартное отклонение для \(X\).
* \(S_y = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - \bar{y})^2}\) — выборочное стандартное отклонение для \(Y\).
Свойства выборочного коэффициента корреляции
1.
Диапазон значений: Коэффициент корреляции всегда находится в диапазоне от -1 до +1 включительно: \(-1 \le r_{xy} \le 1\).
2.
Направление связи:
* Если \(r_{xy} > 0\), то между признаками существует прямая (положительная) линейная связь. Это означает, что с увеличением значений одного признака, значения другого признака также имеют тенденцию к увеличению.
* Если \(r_{xy} < 0\), то между признаками существует обратная (отрицательная) линейная связь. Это означает, что с увеличением значений одного признака, значения другого признака имеют тенденцию к уменьшению.
* Если \(r_{xy} = 0\), то линейная связь между признаками отсутствует. Однако это не означает полного отсутствия связи, возможно, существует нелинейная связь.
3.
Сила связи:
* Чем ближе абсолютное значение \(|r_{xy}|\) к 1, тем сильнее линейная связь между признаками.
* Если \(r_{xy} = 1\), то между признаками существует идеальная прямая линейная связь (все точки лежат на прямой с положительным наклоном).
* Если \(r_{xy} = -1\), то между признаками существует идеальная обратная линейная связь (все точки лежат на прямой с отрицательным наклоном).
* Чем ближе \(r_{xy}\) к 0, тем слабее линейная связь.
4.
Симметричность: Коэффициент корреляции симметричен относительно переменных, то есть \(r_{xy} = r_{yx}\).
5.
Независимость от масштаба и сдвига: Коэффициент корреляции не изменяется при линейном преобразовании переменных. Если \(X' = aX + b\) и \(Y' = cY + d\) (где \(a, c > 0\)), то \(r_{X'Y'} = r_{XY}\). Это означает, что изменение единиц измерения или добавление константы к переменным не влияет на значение коэффициента корреляции.
6.
Чувствительность к выбросам: Коэффициент корреляции чувствителен к выбросам (аномальным значениям), которые могут существенно исказить его значение.
7.
Не является причинно-следственной связью: Высокое значение коэффициента корреляции не означает, что один признак является причиной изменения другого. Корреляция лишь указывает на наличие статистической связи, но не на причинно-следственную зависимость.
Эти понятия являются основой для анализа взаимосвязей между переменными в статистике.
