Решение задачи: α-распад платины

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Контрольная работа Задачи с кратким ответом 1. Ядро платины \(^{194}_{78}\text{Pt}\) испытывает \(\alpha\)-распад, при этом образуются \(\alpha\)-частица и ядро химического элемента \(X\). Чему равно массовое число \(A\) (в атомных единицах массы) ядра \(X\)? Решение: При \(\alpha\)-распаде из ядра вылетает \(\alpha\)-частица, которая представляет собой ядро гелия \(^{4}_{2}\text{He}\). Закон сохранения массового числа: сумма массовых чисел до реакции равна сумме массовых чисел после реакции. Массовое число платины \(A_{\text{Pt}} = 194\). Массовое число \(\alpha\)-частицы \(A_{\alpha} = 4\). Пусть массовое число ядра \(X\) равно \(A_X\). Тогда \(A_{\text{Pt}} = A_X + A_{\alpha}\). \(194 = A_X + 4\). \(A_X = 194 - 4 = 190\). Ответ: 190 2. В результате реакции некоторого ядра \(^{A}_{Z}\text{X}\) с \(\alpha\)-частицей не образуются нейтрон и ядро азота \(^{14}_{7}\text{N}\). Определите массовое число исходного ядра \(^{A}_{Z}\text{X}\). Решение: Запишем уравнение реакции: \(^{A}_{Z}\text{X} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{14}_{7}\text{N}\) По закону сохранения массового числа: \(A + 4 = 14\) \(A = 14 - 4 = 10\) Ответ: 10 3. Ядро урана \(^{238}_{92}\text{U}\) испытывает \(\beta\)-распад, при этом образуются \(\beta\)-частица и ядро \(^{A}_{Z}\text{X}\). С образованием ядра \(^{A}_{Z}\text{X}\) в единицах элементарного заряда? Решение: При \(\beta\)-распаде из ядра вылетает электрон (или \(\beta\)-частица) \(^{0}_{-1}\text{e}\) и антинейтрино. Закон сохранения заряда: сумма зарядов до реакции равна сумме зарядов после реакции. Заряд урана \(Z_{\text{U}} = 92\). Заряд \(\beta\)-частицы \(Z_{\beta} = -1\). Пусть заряд ядра \(X\) равен \(Z_X\). Тогда \(Z_{\text{U}} = Z_X + Z_{\beta}\). \(92 = Z_X + (-1)\). \(92 = Z_X - 1\). \(Z_X = 92 + 1 = 93\). Ответ: 93 4. На рисунке представлены фрагменты периодической системы Д.И. Менделеева. Показаны массовые числа его стабильных изотопов. При этом важно около массового числа. Решение: В задании не хватает конкретного вопроса, но обычно в таких задачах требуется определить, какой изотоп является наиболее распространенным или стабильным, или найти элемент по его массовому числу. Если вопрос о массовом числе, то оно указано для каждого элемента. Например, для Mg - 24, 25, 26. Для K - 39, 40, 41. Для Ca - 40, 42, 43, 44, 46, 48. Для Sc - 45. Для Ti - 46, 47, 48, 49, 50. Для V - 50, 51. Для Cr - 50, 52, 53, 54. Для Mn - 55. Для Fe - 54, 56, 57, 58. Для Co - 59. Для Ni - 58, 60, 61, 62, 64. Для Cu - 63, 65. Для Zn - 64, 66, 67, 68, 70. Для Ga - 69, 71. Ответ: (Требуется уточнение вопроса) 5. Ядро хрома \(^{51}_{24}\text{Cr}\) испытывает \(\beta\)-распад с периодом полураспада 6 мин. В момент начала наблюдения в образце содержится \(8 \cdot 10^{10}\) ядер этого изотопа. Через какую из точек (1, 2, 3 или 4), кроме точки А, проходит график зависимости от времени числа образовавшихся ядер марганца? Решение: При \(\beta\)-распаде ядро хрома \(^{51}_{24}\text{Cr}\) превращается в ядро марганца \(^{51}_{25}\text{Mn}\). Период полураспада \(T_{1/2} = 6\) мин. Начальное количество ядер хрома \(N_0 = 8 \cdot 10^{10}\). Через один период полураспада (6 мин) количество ядер хрома уменьшится в 2 раза, а количество образовавшихся ядер марганца будет равно \(N_0/2\). Через 6 мин: \(N_{\text{Cr}} = N_0/2 = 4 \cdot 10^{10}\). Количество образовавшегося марганца \(N_{\text{Mn}} = N_0 - N_{\text{Cr}} = 8 \cdot 10^{10} - 4 \cdot 10^{10} = 4 \cdot 10^{10}\). Через два периода полураспада (12 мин): \(N_{\text{Cr}} = N_0/4 = 2 \cdot 10^{10}\). Количество образовавшегося марганца \(N_{\text{Mn}} = N_0 - N_{\text{Cr}} = 8 \cdot 10^{10} - 2 \cdot 10^{10} = 6 \cdot 10^{10}\). Через три периода полураспада (18 мин): \(N_{\text{Cr}} = N_0/8 = 1 \cdot 10^{10}\). Количество образовавшегося марганца \(N_{\text{Mn}} = N_0 - N_{\text{Cr}} = 8 \cdot 10^{10} - 1 \cdot 10^{10} = 7 \cdot 10^{10}\). Через четыре периода полураспада (24 мин): \(N_{\text{Cr}} = N_0/16 = 0.5 \cdot 10^{10}\). Количество образовавшегося марганца \(N_{\text{Mn}} = N_0 - N_{\text{Cr}} = 8 \cdot 10^{10} - 0.5 \cdot 10^{10} = 7.5 \cdot 10^{10}\). Посмотрим на таблицу: Время (мин) | \(N_{\text{Mn}} \cdot 10^{10}\) 0 | 0 6 | 4 12 | 6 18 | 7 24 | 7.5 30 | 7.75 Точка 1: (6 мин, \(4 \cdot 10^{10}\)) Точка 2: (12 мин, \(6 \cdot 10^{10}\)) Точка 3: (18 мин, \(7 \cdot 10^{10}\)) Точка 4: (24 мин, \(7.5 \cdot 10^{10}\)) График зависимости числа образовавшихся ядер марганца от времени проходит через точки 1, 2, 3, 4. Вопрос "Через какую из точек (1, 2, 3 или 4), кроме точки А, проходит график". Точка А, вероятно, соответствует началу (0 мин, 0 ядер). Все указанные точки (1, 2, 3, 4) лежат на графике. Если вопрос подразумевает, что нужно выбрать одну из них, то это может быть любая из них. Если вопрос подразумевает, что нужно выбрать точку, которая не является точкой А, то это все 1, 2, 3, 4. Предположим, что вопрос подразумевает, что нужно выбрать одну из точек, которая соответствует одному из периодов полураспада. Точка 1 соответствует 1 периоду полураспада. Точка 2 соответствует 2 периодам полураспада. Точка 3 соответствует 3 периодам полураспада. Точка 4 соответствует 4 периодам полураспада. Ответ: 1 (или 2, 3, 4, в зависимости от того, что именно требуется выбрать) 6. Первая полуреакция одного из изотопов иода составляет 81 мин. Первоначально в образце содержалось 0,2 моль этого изотопа. Сколько моль данного изотопа останется в образце через 162 мин? Решение: Период полураспада \(T_{1/2} = 81\) мин. Начальное количество вещества \(n_0 = 0,2\) моль. Время, прошедшее \(t = 162\) мин. Определим количество периодов полураспада \(k = t / T_{1/2}\). \(k = 162 \text{ мин} / 81 \text{ мин} = 2\). Количество оставшегося вещества \(n\) после \(k\) периодов полураспада определяется формулой: \(n = n_0 \cdot (1/2)^k\). \(n = 0,2 \text{ моль} \cdot (1/2)^2\). \(n = 0,2 \text{ моль} \cdot (1/4)\). \(n = 0,05\) моль. Ответ: 0,05 моль 7. В свинцовую капсулу поместили радиоактивный иод \(^{131}_{53}\text{I}\). Сколько процентов от исходного большого числа ядер этого изотопа иода останется в капсуле через 24 дня? Период полураспада иода 8 дней. Решение: Период полураспада \(T_{1/2} = 8\) дней. Время, прошедшее \(t = 24\) дня. Определим количество периодов полураспада \(k = t / T_{1/2}\). \(k = 24 \text{ дня} / 8 \text{ дней} = 3\). Доля оставшихся ядер \(N/N_0 = (1/2)^k\). \(N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8\). В процентах это будет: \((1/8) \cdot 100\% = 12,5\%\). Ответ: 12,5 % 8. Период полураспада изотопа магния \(^{28}_{12}\text{Mg}\) составляет 21 ч. Во сколько раз уменьшится первоначальное большое число атомов этого изотопа за 63 часа от начала наблюдения? Решение: Период полураспада \(T_{1/2} = 21\) ч. Время, прошедшее \(t = 63\) ч. Определим количество периодов полураспада \(k = t / T_{1/2}\). \(k = 63 \text{ ч} / 21 \text{ ч} = 3\). Количество оставшихся ядер \(N\) связано с начальным количеством \(N_0\) формулой: \(N = N_0 \cdot (1/2)^k\). \(N = N_0 \cdot (1/2)^3 = N_0 \cdot (1/8)\). Значит, первоначальное число атомов уменьшится в 8 раз. Ответ: 8 раз(а) 9. Образец радиоактивного радия \(^{224}_{88}\text{Ra}\) находится в закрытом сосуде, из которого откачан воздух. Ядра радия испытывают \(\alpha\)-распад с периодом полураспада 3,6 суток. Определите число моль радия-224 в сосуде через 7,2 суток, если образец в момент его помещения в сосуд имел в своём составе \(2,4 \cdot 10^{23}\) атомов радия-224. Решение: Период полураспада \(T_{1/2} = 3,6\) суток. Время, прошедшее \(t = 7,2\) суток. Определим количество периодов полураспада \(k = t / T_{1/2}\). \(k = 7,2 \text{ суток} / 3,6 \text{ суток} = 2\). Начальное количество атомов \(N_0 = 2,4 \cdot 10^{23}\). Количество оставшихся атомов \(N = N_0 \cdot (1/2)^k\). \(N = 2,4 \cdot 10^{23} \cdot (1/2)^2 = 2,4 \cdot 10^{23} \cdot (1/4) = 0,6 \cdot 10^{23} = 6 \cdot 10^{22}\) атомов. Чтобы перевести атомы в моли, используем число Авогадро \(N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\). Количество моль \(n = N / N_A\). \(n = (6 \cdot 10^{22}) / (6,02 \cdot 10^{23}) \approx 0,0996\) моль. Округлим до 0,1 моль. Ответ: 0,1 моль 10. Образец радиоактивного радия \(^{224}_{88}\text{Ra}\) находится в закрытом сосуде, из которого откачан воздух. Ядра радия испытывают \(\alpha\)-распад с периодом полураспада 3,6 суток. Определите число моль гелия в сосуде через 7,2 суток, если образец в момент его помещения в сосуд имел в своём составе \(2,4 \cdot 10^{23}\) атомов радия-224. Решение: Период полураспада \(T_{1/2} = 3,6\) суток. Время, прошедшее \(t = 7,2\) суток. Количество периодов полураспада \(k = t / T_{1/2} = 7,2 / 3,6 = 2\). Начальное количество атомов радия \(N_0 = 2,4 \cdot 10^{23}\). Количество распавшихся атомов радия \(N_{\text{расп}} = N_0 - N = N_0 - N_0 \cdot (1/2)^k = N_0 \cdot (1 - (1/2)^k)\). \(N_{\text{расп}} = 2,4 \cdot 10^{23} \cdot (1 - (1/2)^2) = 2,4 \cdot 10^{23} \cdot (1 - 1/4) = 2,4 \cdot 10^{23} \cdot (3/4) = 1,8 \cdot 10^{23}\) атомов. При каждом \(\alpha\)-распаде образуется одно ядро гелия (одна \(\alpha\)-частица). Значит, количество образовавшихся атомов гелия равно количеству распавшихся атомов радия. \(N_{\text{He}} = 1,8 \cdot 10^{23}\) атомов. Количество моль гелия \(n_{\text{He}} = N_{\text{He}} / N_A\). \(n_{\text{He}} = (1,8 \cdot 10^{23}) / (6,02 \cdot 10^{23}) \approx 0,299\) моль. Округлим до 0,3 моль. Ответ: 0,3 моль 11. Закон радиоактивного распада ядер некоторого изотопа имеет вид \(N = N_0 \cdot 2^{-\lambda t}\), где \(\lambda = 0,04\) с\(^{-1}\). Определите период полураспада этих ядер. Решение: Закон радиоактивного распада обычно записывается как \(N = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}\) или \(N = N_0 \cdot e^{-\lambda' t}\). В данном случае дано \(N = N_0 \cdot 2^{-\lambda t}\). Сравнивая с \(N = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}\), мы видим, что \(2^{-\lambda t} = (1/2)^{t/T_{1/2}}\). Так как \(1/2 = 2^{-1}\), то \(2^{-\lambda t} = (2^{-1})^{t/T_{1/2}} = 2^{-t/T_{1/2}}\). Отсюда \(\lambda t = t/T_{1/2}\). \(\lambda = 1/T_{1/2}\). Значит, \(T_{1/2} = 1/\lambda\). \(T_{1/2} = 1 / 0,04 \text{ с}^{-1} = 25\) с. Ответ: 25 с 12. Через сколько секунд из \(8 \cdot 10^{10}\) ядер радиоактивного изотопа кислорода \(^{20}_{8}\text{O}\), имеющего период полураспада \(T = 122\) с, нераспавшимися останутся \(2 \cdot 10^{10}\) ядер изотопа? Решение: Начальное количество ядер \(N_0 = 8 \cdot 10^{10}\). Конечное количество ядер \(N = 2 \cdot 10^{10}\). Период полураспада \(T_{1/2} = 122\) с. Используем формулу \(N = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}\). Подставим значения: \(2 \cdot 10^{10} = 8 \cdot 10^{10} \cdot (1/2)^{t/122}\). Разделим обе части на \(8 \cdot 10^{10}\): \(2/8 = (1/2)^{t/122}\). \(1/4 = (1/2)^{t/122}\). Так как \(1/4 = (1/2)^2\), то: \((1/2)^2 = (1/2)^{t/122}\). Отсюда \(2 = t/122\). \(t = 2 \cdot 122 = 244\) с. Ответ: 244 с 13. Какая доля от исходного большого количества радиоактивных ядер распадается за интервал времени, равный трём периодам полураспада? Решение: Пусть \(N_0\) - исходное количество ядер. После одного периода полураспада останется \(N_0/2\). После двух периодов полураспада останется \(N_0/4\). После трёх периодов полураспада останется \(N_0/8\). Доля оставшихся ядер: \(N/N_0 = 1/8\). Доля распавшихся ядер: \(N_{\text{расп}}/N_0 = 1 - N/N_0 = 1 - 1/8 = 7/8\). В процентах это будет: \((7/8) \cdot 100\% = 87,5\%\). Ответ: 87,5 % 14. На рисунке изображена упрощённая диаграмма нижних энергетических уровней атома. Нумерованными стрелками отмечены некоторые возможные переходы атома между этими уровнями. Какой из этих четырёх переходов связан с поглощением света наименьшей частоты, а какой - с излучением света наибольшей длины волны? Установите соответствие между процессами поглощения и излучения света и энергетическими переходами атома, указывающими стрелками. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 ПРОЦЕССЫ А) поглощение света наименьшей частоты Б) излучение света наибольшей длины волны Решение: Энергия фотона \(E = h\nu = hc/\lambda\), где \(h\) - постоянная Планка, \(\nu\) - частота, \(c\) - скорость света, \(\lambda\) - длина волны. Поглощение света происходит при переходе атома с более низкого энергетического уровня на более высокий. Излучение света происходит при переходе атома с более высокого энергетического уровня на более низкий. Наименьшая частота соответствует наименьшей энергии фотона, а значит, наименьшей разнице энергетических уровней. Наибольшая длина волны также соответствует наименьшей энергии фотона. Рассмотрим переходы: 1: Из \(E_0\) в \(E_1\). Это поглощение. Разница энергий \(\Delta E_1 = E_1 - E_0\). 2: Из \(E_2\) в \(E_0\). Это излучение. Разница энергий \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\). 3: Из \(E_3\) в \(E_1\). Это излучение. Разница энергий \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\). 4: Из \(E_0\) в \(E_3\). Это поглощение. Разница энергий \(\Delta E_4 = E_3 - E_0\). Энергетические уровни расположены так: \(E_0 < E_1 < E_2 < E_3\). Значит, \(\Delta E_1 = E_1 - E_0\) - наименьшая разница энергий для поглощения. \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\) \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\) \(\Delta E_4 = E_3 - E_0\) Сравним разницы энергий: Для поглощения: \(\Delta E_1 = E_1 - E_0\) и \(\Delta E_4 = E_3 - E_0\). Очевидно, \(\Delta E_1 < \Delta E_4\). Значит, поглощение света наименьшей частоты (наименьшей энергии) соответствует переходу 1. Для излучения: \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\) и \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\). Визуально, \(E_1 - E_0\) - самый маленький интервал. \(E_3 - E_1\) выглядит меньше, чем \(E_2 - E_0\). Наибольшая длина волны соответствует наименьшей энергии излучения. Сравним \(\Delta E_2\) и \(\Delta E_3\). \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\). \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\). По рисунку видно, что \(E_1 - E_0\) - это самый маленький энергетический переход. Переход 3 (\(E_3 \rightarrow E_1\)) и переход 1 (\(E_0 \rightarrow E_1\)) имеют одинаковую разницу уровней \(E_1 - E_0\), но переход 3 - это излучение, а переход 1 - поглощение. Если \(E_1 - E_0\) - это наименьшая разница энергий, то она соответствует наименьшей частоте и наибольшей длине волны. Переход 1 - поглощение света наименьшей частоты. Переход 3 - излучение света с энергией \(E_3 - E_1\). Переход 2 - излучение света с энергией \(E_2 - E_0\). По рисунку видно, что \(E_1 - E_0\) - это наименьшая разница энергий. Среди излучательных переходов (2 и 3), переход 3 (\(E_3 \rightarrow E_1\)) имеет энергию \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\). Переход 2 (\(E_2 \rightarrow E_0\)) имеет энергию \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\). По рисунку, \(E_1 - E_0\) - это наименьший интервал. \(E_3 - E_1\) выглядит больше, чем \(E_1 - E_0\). \(E_2 - E_0\) выглядит больше, чем \(E_1 - E_0\). Если мы ищем излучение света наибольшей длины волны, то это излучение с наименьшей энергией. Наименьшая энергия перехода на рисунке - это \(E_1 - E_0\). Переход 1 - поглощение \(E_0 \rightarrow E_1\). Переход 3 - излучение \(E_3 \rightarrow E_1\). Переход 2 - излучение \(E_2 \rightarrow E_0\). Переход 4 - поглощение \(E_0 \rightarrow E_3\). Наименьшая энергия для поглощения - это переход 1. Наименьшая энергия для излучения - это переход 3, если \(E_3 - E_1\) меньше, чем \(E_2 - E_0\). По рисунку, \(E_1\) находится примерно посередине между \(E_0\) и \(E_2\). \(E_3\) находится выше \(E_2\). Разница \(E_3 - E_1\) визуально меньше, чем \(E_2 - E_0\). Поэтому, излучение света наибольшей длины волны (наименьшей энергии) соответствует переходу 3. А) поглощение света наименьшей частоты - 1 Б) излучение света наибольшей длины волны - 3 Ответ: А-1, Б-3 15. На рисунке изображена упрощённая диаграмма нижних энергетических уровней атома. Нумерованными стрелками отмечены некоторые возможные переходы атома между этими уровнями. Какой из этих четырёх переходов связан с поглощением света наименьшей энергией? Установите соответствие между процессами поглощения и излучения света и энергетическими переходами атома, указывающими стрелками. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 ПРОЦЕССЫ А) поглощение света с наименьшей энергией Б) излучение света с наибольшей длиной волны Решение: Это тот же вопрос, что и 14, только с немного измененными формулировками. А) поглощение света с наименьшей энергией: Поглощение - это переход с нижнего уровня на верхний. Переходы 1 (\(E_0 \rightarrow E_1\)) и 4 (\(E_0 \rightarrow E_3\)) - поглощение. Наименьшая энергия соответствует наименьшей разнице уровней. \(\Delta E_1 = E_1 - E_0\). \(\Delta E_4 = E_3 - E_0\). Очевидно, \(\Delta E_1 < \Delta E_4\). Значит, поглощение света с наименьшей энергией - это переход 1. Б) излучение света с наибольшей длиной волны: Наибольшая длина волны соответствует наименьшей энергии излучения. Излучение - это переход с верхнего уровня на нижний. Переходы 2 (\(E_2 \rightarrow E_0\)) и 3 (\(E_3 \rightarrow E_1\)) - излучение. Наименьшая энергия излучения: \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\). \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\). По рисунку, \(E_1 - E_0\) - это наименьший интервал. \(E_3 - E_1\) выглядит меньше, чем \(E_2 - E_0\). Значит, излучение света с наибольшей длиной волны (наименьшей энергией) - это переход 3. Ответ: А-1, Б-3 16. На рисунке изображена упрощённая диаграмма нижних энергетических уровней атома. Нумерованными стрелками отмечены некоторые возможные переходы атома между этими уровнями. Какой из этих четырёх переходов связан с поглощением света с наибольшей длиной волны? Установите соответствие между процессами поглощения и излучения света и энергетическими переходами атома, указывающими стрелками. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 ПРОЦЕССЫ А) поглощение света с наибольшей длиной волны Б) излучение света с наибольшей энергией Решение: А) поглощение света с наибольшей длиной волны: Наибольшая длина волны соответствует наименьшей энергии. Поглощение - это переходы 1 (\(E_0 \rightarrow E_1\)) и 4 (\(E_0 \rightarrow E_3\)). Наименьшая энергия поглощения - это переход 1 (\(\Delta E_1 = E_1 - E_0\)). Б) излучение света с наибольшей энергией: Излучение - это переходы 2 (\(E_2 \rightarrow E_0\)) и 3 (\(E_3 \rightarrow E_1\)). Наибольшая энергия излучения: \(\Delta E_2 = E_2 - E_0\). \(\Delta E_3 = E_3 - E_1\). По рисунку, \(E_2 - E_0\) выглядит больше, чем \(E_3 - E_1\). Значит, излучение света с наибольшей энергией - это переход 2. Ответ: А-1, Б-2 17. Установите соответствие между видами радиоактивного распада и уравнениями, описывающими этот процесс. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. УРАВНЕНИЯ 1) \(^{12}_{7}\text{N} \rightarrow ^{12}_{6}\text{C} + ^{0}_{1}\text{e} + \nu_e\) 2) \(^{13}_{6}\text{C} \rightarrow ^{13}_{7}\text{N} + ^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e\) 3) \(^{240}_{94}\text{Pu} \rightarrow ^{236}_{92}\text{U} + ^{4}_{2}\text{He}\) 4) \(^{14}_{7}\text{N} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{17}_{8}\text{O} + ^{1}_{1}\text{H}\) ВИДЫ РАСПАДА А) электронный \(\beta\)-распад Б) \(\alpha\)-распад Решение: А) Электронный \(\beta\)-распад (или \(\beta^-\)-распад): При электронном \(\beta\)-распаде из ядра вылетает электрон \(^{0}_{-1}\text{e}\) (бета-частица) и антинейтрино \(\bar{\nu}_e\). При этом массовое число ядра не меняется, а зарядовое число увеличивается на 1. Рассмотрим уравнения: 1) \(^{12}_{7}\text{N} \rightarrow ^{12}_{6}\text{C} + ^{0}_{1}\text{e} + \nu_e\). Здесь вылетает позитрон \(^{0}_{1}\text{e}\) (бета-плюс распад) и нейтрино. Зарядовое число уменьшается на 1. Это не электронный \(\beta\)-распад. 2) \(^{13}_{6}\text{C} \rightarrow ^{13}_{7}\text{N} + ^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e\). Здесь вылетает электрон \(^{0}_{-1}\text{e}\) и антинейтрино. Зарядовое число увеличивается на 1 (от 6 до 7). Массовое число не меняется (13). Это электронный \(\beta\)-распад. 3) \(^{240}_{94}\text{Pu} \rightarrow ^{236}_{92}\text{U} + ^{4}_{2}\text{He}\). Здесь вылетает ядро гелия \(^{4}_{2}\text{He}\). Это \(\alpha\)-распад. 4) \(^{14}_{7}\text{N} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{17}_{8}\text{O} + ^{1}_{1}\text{H}\). Это ядерная реакция, а не распад. Значит, А) электронный \(\beta\)-распад соответствует уравнению 2. Б) \(\alpha\)-распад: При \(\alpha\)-распаде из ядра вылетает \(\alpha\)-частица (ядро гелия \(^{4}_{2}\text{He}\)). При этом массовое число ядра уменьшается на 4, а зарядовое число уменьшается на 2. Рассмотрим уравнения: 3) \(^{240}_{94}\text{Pu} \rightarrow ^{236}_{92}\text{U} + ^{4}_{2}\text{He}\). Массовое число уменьшилось на 4 (240-236=4). Зарядовое число уменьшилось на 2 (94-92=2). Вылетела \(\alpha\)-частица. Это \(\alpha\)-распад. Значит, Б) \(\alpha\)-распад соответствует уравнению 3. Ответ: А-2, Б-3 18. Ядро испытывает \(\alpha\)-распад. Как меняется при этом число нейтронов в ядре и заряд ядра? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличивается 2) уменьшается 3) не изменяется Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. Число нейтронов в ядре | Заряд ядра --- | --- ? | ? Решение: При \(\alpha\)-распаде из ядра вылетает \(\alpha\)-частица \(^{4}_{2}\text{He}\). Пусть исходное ядро \(^{A}_{Z}\text{X}\) превращается в \(^{A-4}_{Z-2}\text{Y}\). Заряд ядра: Заряд ядра равен зарядовому числу \(Z\). При \(\alpha\)-распаде \(Z\) уменьшается на 2. Значит, заряд ядра уменьшается. Число нейтронов в ядре: Число нейтронов \(N = A - Z\). Исходное число нейтронов \(N_{\text{исх}} = A - Z\). Конечное число нейтронов \(N_{\text{кон}} = (A-4) - (Z-2) = A - 4 - Z + 2 = A - Z - 2\). Значит, число нейтронов уменьшается на 2. Число нейтронов в ядре: 2 (уменьшается) Заряд ядра: 2 (уменьшается) Ответ: Число нейтронов в ядре | Заряд ядра --- | --- 2 | 2 19. Как изменяется с увеличением массового числа изотопов одного и того же химического элемента число протонов в ядре и число нейтронов в ядре соответствующего атома? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличивается 2) уменьшается 3) не изменяется Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. Число протонов в ядре | Число нейтронов в ядре --- | --- ? | ? Решение: Изотопы одного и того же химического элемента имеют одинаковое число протонов (одинаковое зарядовое число \(Z\)), но разное массовое число \(A\). Массовое число \(A = Z + N\), где \(N\) - число нейтронов. Если массовое число \(A\) увеличивается, а число протонов \(Z\) остается неизменным (по определению изотопов), то число нейтронов \(N\) должно увеличиваться. Число протонов в ядре: 3 (не изменяется) Число нейтронов в ядре: 1 (увеличивается) Ответ: Число протонов в ядре | Число нейтронов в ядре --- | --- 3 | 1 20. Ядро испытывает электронный \(\beta\)-распад. Как при этом изменяется заряд ядра и число протонов в ядре? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличивается 2) уменьшается 3) не изменяется Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. Заряд ядра | Число протонов в ядре --- | --- ? | ? Решение: При электронном \(\beta\)-распаде (или \(\beta^-\)-распаде) из ядра вылетает электрон \(^{0}_{-1}\text{e}\). Пусть исходное ядро \(^{A}_{Z}\text{X}\) превращается в \(^{A}_{Z+1}\text{Y}\). Заряд ядра: Заряд ядра равен зарядовому числу \(Z\). При электронном \(\beta\)-распаде \(Z\) увеличивается на 1. Значит, заряд ядра увеличивается. Число протонов в ядре: Число протонов равно зарядовому числу \(Z\). При электронном \(\beta\)-распаде \(Z\) увеличивается на 1. Значит, число протонов в ядре увеличивается. Заряд ядра: 1 (увеличивается) Число протонов в ядре: 1 (увеличивается) Ответ: Заряд ядра | Число протонов в ядре --- | --- 1 | 1 Задачи с развернутым ответом 21. Точечный источник монохроматического света испускает \(3 \cdot 10^{17}\) фотонов за 1 с. Длина волны испускаемого света равна 594 нм. КПД источника составляет 0,1%. Вычислите мощность, потребляемую источником. Решение: Дано: Количество фотонов \(N = 3 \cdot 10^{17}\) Время \(t = 1\) с Длина волны \(\lambda = 594\) нм \( = 594 \cdot 10^{-9}\) м КПД \(\eta = 0,1\% = 0,001\) Найти: Потребляемая мощность \(P_{\text{потр}}\) Формулы: Энергия одного фотона: \(E_{\text{ф}} = hc/\lambda\), где \(h = 6,63 \cdot 10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с (постоянная Планка), \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с (скорость света). Мощность излучения: \(P_{\text{изл}} = N \cdot E_{\text{ф}} / t\). КПД: \(\eta = P_{\text{изл}} / P_{\text{потр}}\). Вычисления: 1. Энергия одного фотона: \(E_{\text{ф}} = (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) / (594 \cdot 10^{-9} \text{ м})\) \(E_{\text{ф}} = (19,89 \cdot 10^{-26}) / (594 \cdot 10^{-9})\) \(E_{\text{ф}} \approx 0,03348 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} \approx 3,348 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\) 2. Мощность излучения: \(P_{\text{изл}} = (3 \cdot 10^{17} \cdot 3,348 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}) / 1 \text{ с}\) \(P_{\text{изл}} = 10,044 \cdot 10^{-2} \text{ Вт} = 0,10044 \text{ Вт}\) 3. Потребляемая мощность: \(P_{\text{потр}} = P_{\text{изл}} / \eta\) \(P_{\text{потр}} = 0,10044 \text{ Вт} / 0,001\) \(P_{\text{потр}} = 100,44 \text{ Вт}\) Ответ: Потребляемая мощность источника составляет примерно 100,44 Вт. 22. На металлическую пластину падает монохроматическое излучение, вызывающее фотоэффект. Работа выхода электронов из металла равна 6 эВ, а максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих из пластинки, в 3 раза меньше энергии падающих на пластинку фотонов. Чему равна длина волны падающего излучения? Решение: Дано: Работа выхода \(A_{\text{вых}} = 6\) эВ Максимальная кинетическая энергия \(E_{\text{к max}}\) Энергия фотона \(E_{\text{ф}}\) \(E_{\text{к max}} = E_{\text{ф}} / 3\) Найти: Длина волны \(\lambda\) Формулы: Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: \(E_{\text{ф}} = A_{\text{вых}} + E_{\text{к max}}\). Энергия фотона: \(E_{\text{ф}} = hc/\lambda\). Постоянная Планка \(h = 6,63 \cdot 10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с. Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с. Перевод эВ в Дж: \(1\) эВ \( = 1,6 \cdot 10^{-19}\) Дж. Вычисления: 1. Подставим \(E_{\text{к max}} = E_{\text{ф}} / 3\) в уравнение фотоэффекта: \(E_{\text{ф}} = A_{\text{вых}} + E_{\text{ф}} / 3\) \(E_{\text{ф}} - E_{\text{ф}} / 3 = A_{\text{вых}}\) \((2/3) E_{\text{ф}} = A_{\text{вых}}\) \(E_{\text{ф}} = (3/2) A_{\text{вых}}\) 2. Вычислим энергию фотона в эВ: \(E_{\text{ф}} = (3/2) \cdot 6 \text{ эВ} = 9 \text{ эВ}\). 3. Переведем энергию фотона в Джоули: \(E_{\text{ф}} = 9 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 14,4 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}\). 4. Найдем длину волны: \(E_{\text{ф}} = hc/\lambda \Rightarrow \lambda = hc/E_{\text{ф}}\) \(\lambda = (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) / (14,4 \cdot 10^{-19} \text{ Дж})\) \(\lambda = (19,89 \cdot 10^{-26}) / (14,4 \cdot 10^{-19})\) \(\lambda \approx 1,381 \cdot 10^{-7} \text{ м}\) \(\lambda \approx 138,1 \text{ нм}\) Ответ: Длина волны падающего излучения составляет примерно 138,1 нм. 23. В открытый контейнер поместили 1,5 г изотопа полония \(^{210}_{84}\text{Po}\). Затем контейнер герметично закрыли. Изотоп полония радиоактивен и претерпевает \(\alpha\)-распад с периодом полураспада примерно 140 дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Давление внутри контейнера составило \(1,4 \cdot 10^5\) Па. Через 5 недель температура внутри контейнера поддерживается постоянной и равна 45°С. Атмосферное давление равно \(10^5\) Па. Определите объём контейнера. Решение: Дано: Масса полония \(m_{\text{Po}} = 1,5\) г Период полураспада \(T_{1/2} = 140\) дней Время \(t = 5\) недель \( = 5 \cdot 7 = 35\) дней Температура \(T = 45^\circ\text{C} = 45 + 273 = 318\) К Давление внутри контейнера \(P = 1,4 \cdot 10^5\) Па Атмосферное давление \(P_{\text{атм}} = 10^5\) Па Молярная масса полония \(M_{\text{Po}} = 210\) г/моль (из массового числа) Молярная масса гелия \(M_{\text{He}} = 4\) г/моль (из массового числа \(\alpha\)-частицы) Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31\) Дж/(моль\(\cdot\)К) Найти: Объем контейнера \(V\). При \(\alpha\)-распаде полония \(^{210}_{84}\text{Po}\) образуется свинец \(^{206}_{82}\text{Pb}\) и гелий \(^{4}_{2}\text{He}\). \(^{210}_{84}\text{Po} \rightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}\). Гелий - это газ, который будет создавать давление в контейнере. 1. Определим количество периодов полураспада: \(k = t / T_{1/2} = 35 \text{ дней} / 140 \text{ дней} = 1/4\). 2. Определим начальное количество моль полония: \(n_{\text{Po}0} = m_{\text{Po}} / M_{\text{Po}} = 1,5 \text{ г} / 210 \text{ г/моль} \approx 0,00714\) моль. 3. Определим количество распавшегося полония (и, соответственно, образовавшегося гелия) в молях: Количество оставшегося полония: \(n_{\text{Po}} = n_{\text{Po}0} \cdot (1/2)^k = n_{\text{Po}0} \cdot (1/2)^{1/4}\). \((1/2)^{1/4} = 1 / \sqrt[4]{2} \approx 1 / 1,189 \approx 0,8409\). \(n_{\text{Po}} = 0,00714 \cdot 0,8409 \approx 0,00600\) моль. Количество распавшегося полония: \(n_{\text{расп}} = n_{\text{Po}0} - n_{\text{Po}} = 0,00714 - 0,00600 = 0,00114\) моль. Так как при распаде одного ядра полония образуется один атом гелия, то количество моль образовавшегося гелия равно количеству моль распавшегося полония: \(n_{\text{He}} = n_{\text{расп}} = 0,00114\) моль. 4. Давление внутри контейнера \(P\) складывается из давления гелия \(P_{\text{He}}\) и атмосферного давления \(P_{\text{атм}}\), так как контейнер открытый (но потом герметично закрыли, что означает, что внутри есть воздух, который был там до закрытия, и гелий). Если контейнер был открыт, а потом герметично закрыт, то внутри него остался воздух при атмосферном давлении. Тогда \(P = P_{\text{He}} + P_{\text{атм}}\). \(P_{\text{He}} = P - P_{\text{атм}} = 1,4 \cdot 10^5 \text{ Па} - 10^5 \text{ Па} = 0,4 \cdot 10^5 \text{ Па}\). 5. Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия: \(P_{\text{He}} V = n_{\text{He}} R T\). \(V = (n_{\text{He}} R T) / P_{\text{He}}\). \(V = (0,00114 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 318 \text{ К}) / (0,4 \cdot 10^5 \text{ Па})\). \(V = (0,00114 \cdot 8,31 \cdot 318) / (40000)\). \(V = 3,016 / 40000\). \(V \approx 0,0000754 \text{ м}^3\). \(V \approx 75,4 \text{ см}^3\). Ответ: Объем контейнера составляет примерно \(7,54 \cdot 10^{-5}\) м\(^3\) (или 75,4 см\(^3\)).