Решение задачи: Изотоп после альфа и бета распадов Тория-232

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Контрольная работа 2 Пример 3.2.5. Какой изотоп образуется из \(\alpha\)-радиоактивного тория \(_{90}^{232}\text{Th}\) в результате четырех \(\alpha\)-распадов и двух \(\beta^{-}\)-распадов? Решение: При \(\alpha\)-распаде массовое число уменьшается на 4, а зарядовое число уменьшается на 2. При \(\beta^{-}\)-распаде массовое число не изменяется, а зарядовое число увеличивается на 1. Начальный изотоп: \(_{90}^{232}\text{Th}\). 1. Четыре \(\alpha\)-распада: Изменение массового числа: \(4 \times 4 = 16\). Новое массовое число: \(232 - 16 = 216\). Изменение зарядового числа: \(4 \times 2 = 8\). Новое зарядовое число: \(90 - 8 = 82\). После четырех \(\alpha\)-распадов образуется изотоп с массовым числом 216 и зарядовым числом 82. 2. Два \(\beta^{-}\)-распада: Изменение массового числа: \(2 \times 0 = 0\). Массовое число остается 216. Изменение зарядового числа: \(2 \times (-1) = -2\). (Поскольку \(\beta^{-}\)-распад увеличивает зарядовое число на 1, то два распада увеличат на 2). Новое зарядовое число: \(82 + 2 = 84\). Итоговый изотоп имеет массовое число 216 и зарядовое число 84. Элемент с зарядовым числом 84 - это Полоний (Po). Ответ: Образуется изотоп \(_{84}^{216}\text{Po}\). Пример 3.2.6. В результате столкновения нейтрона с ядром \(_{8}^{16}\text{O}\) наблюдается испускание дейтерия (изотоп водорода \(_{1}^{2}\text{H}\), содержащий один протон и один нейтрон). Какое ядро возникает в результате реакции? Решение: Запишем уравнение ядерной реакции. Нейтрон обозначается как \(_{0}^{1}\text{n}\). Ядро кислорода: \(_{8}^{16}\text{O}\). Дейтерий: \(_{1}^{2}\text{H}\). Пусть искомое ядро будет \(_{Z}^{A}\text{X}\). Уравнение реакции: \(_{0}^{1}\text{n} + _{8}^{16}\text{O} \rightarrow _{1}^{2}\text{H} + _{Z}^{A}\text{X}\) Для решения используем законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z). Сохранение массового числа: Сумма массовых чисел до реакции должна быть равна сумме массовых чисел после реакции. \(1 + 16 = 2 + A\) \(17 = 2 + A\) \(A = 17 - 2\) \(A = 15\) Сохранение зарядового числа: Сумма зарядовых чисел до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции. \(0 + 8 = 1 + Z\) \(8 = 1 + Z\) \(Z = 8 - 1\) \(Z = 7\) Искомое ядро имеет массовое число 15 и зарядовое число 7. Элемент с зарядовым числом 7 - это Азот (N). Ответ: В результате реакции возникает ядро \(_{7}^{15}\text{N}\). Пример 3.2.8. Сколько \(\alpha\)- и \(\beta^{-}\)-распадов должно произойти, чтобы \(_{92}^{238}\text{U}\) превратился в стабильный изотоп свинца \(_{82}^{206}\text{Pb}\)? Решение: Начальный изотоп: \(_{92}^{238}\text{U}\). Конечный изотоп: \(_{82}^{206}\text{Pb}\). Пусть произошло \(x\) \(\alpha\)-распадов и \(y\) \(\beta^{-}\)-распадов. При одном \(\alpha\)-распаде: Массовое число уменьшается на 4. Зарядовое число уменьшается на 2. При одном \(\beta^{-}\)-распаде: Массовое число не изменяется. Зарядовое число увеличивается на 1. Составим систему уравнений для массового и зарядового чисел. 1. Изменение массового числа: Начальное массовое число: 238. Конечное массовое число: 206. Изменение массового числа за счет \(\alpha\)-распадов: \(4x\). \(\beta^{-}\)-распады не влияют на массовое число. Уравнение для массового числа: \(238 - 4x = 206\) \(4x = 238 - 206\) \(4x = 32\) \(x = \frac{32}{4}\) \(x = 8\) Значит, произошло 8 \(\alpha\)-распадов. 2. Изменение зарядового числа: Начальное зарядовое число: 92. Конечное зарядовое число: 82. Изменение зарядового числа за счет \(\alpha\)-распадов: \(2x\). (Уменьшение) Изменение зарядового числа за счет \(\beta^{-}\)-распадов: \(y\). (Увеличение) Подставим \(x = 8\) в уравнение для зарядового числа: \(92 - 2x + y = 82\) \(92 - 2 \times 8 + y = 82\) \(92 - 16 + y = 82\) \(76 + y = 82\) \(y = 82 - 76\) \(y = 6\) Значит, произошло 6 \(\beta^{-}\)-распадов. Ответ: Должно произойти 8 \(\alpha\)-распадов и 6 \(\beta^{-}\)-распадов. Пример 3.2.11. Определить массовый расход \(dm/dt\) ядерного горючего \(^{235}\text{U}\) в реакторе АЭС. Тепловая мощность станции равна \(P = 10\) МВт. Принять, что в одном акте деления выделяется энергия \(Q = 200\) МэВ, а КПД станции равен \(\eta = 0,2\) (20%). Решение: Дано: Тепловая мощность станции \(P = 10\) МВт \( = 10 \times 10^6\) Вт. Энергия, выделяющаяся в одном акте деления \(Q = 200\) МэВ. КПД станции \(\eta = 0,2\). Молярная масса \(^{235}\text{U}\) \(M = 235\) г/моль \( = 0,235\) кг/моль. Число Авогадро \(N_A = 6,022 \times 10^{23}\) моль\(^{-1}\). Переведем энергию \(Q\) из МэВ в Джоули: \(1\) МэВ \( = 1,602 \times 10^{-13}\) Дж. \(Q = 200 \times 1,602 \times 10^{-13}\) Дж \( = 3,204 \times 10^{-11}\) Дж. 1. Определим полную тепловую мощность реактора \(P_{реактора}\). КПД станции \(\eta\) определяется как отношение полезной мощности к полной мощности: \(\eta = \frac{P}{P_{реактора}}\) Отсюда, \(P_{реактора} = \frac{P}{\eta}\) \(P_{реактора} = \frac{10 \times 10^6 \text{ Вт}}{0,2} = 50 \times 10^6 \text{ Вт} = 50\) МВт. 2. Определим количество актов деления в секунду \(N\). Полная тепловая мощность реактора равна произведению количества актов деления в секунду на энергию, выделяющуюся в одном акте деления: \(P_{реактора} = N \times Q\) \(N = \frac{P_{реактора}}{Q}\) \(N = \frac{50 \times 10^6 \text{ Дж/с}}{3,204 \times 10^{-11} \text{ Дж/акт}}\) \(N \approx 1,5605 \times 10^{18}\) актов деления в секунду. 3. Определим массовый расход \(dm/dt\). Массовый расход \(dm/dt\) - это масса урана, которая распадается в единицу времени. Масса одного атома \(^{235}\text{U}\) \(m_{атома}\) может быть найдена как отношение молярной массы к числу Авогадро: \(m_{атома} = \frac{M}{N_A}\) \(m_{атома} = \frac{0,235 \text{ кг/моль}}{6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 3,902 \times 10^{-25}\) кг/атом. Массовый расход \(dm/dt\) равен произведению количества актов деления в секунду на массу одного атома: \(\frac{dm}{dt} = N \times m_{атома}\) \(\frac{dm}{dt} = (1,5605 \times 10^{18} \text{ с}^{-1}) \times (3,902 \times 10^{-25} \text{ кг/атом})\) \(\frac{dm}{dt} \approx 6,089 \times 10^{-7}\) кг/с. Переведем в более удобные единицы, например, граммы в сутки: \(1\) кг/с \( = 1000\) г/с. \(1\) сутки \( = 24 \times 60 \times 60 = 86400\) с. \(\frac{dm}{dt} = 6,089 \times 10^{-7} \text{ кг/с} \times 1000 \text{ г/кг} \times 86400 \text{ с/сутки}\) \(\frac{dm}{dt} \approx 52,6 \text{ г/сутки}\). Ответ: Массовый расход ядерного горючего составляет примерно \(6,09 \times 10^{-7}\) кг/с (или около 52,6 грамма в сутки).