Решение задач из учебника математики

Ниже представлены решения задач с фотографий, оформленные для записи в тетрадь. Задание 6 Найдите значение выражения: \( 1\frac{8}{17} : \left( \frac{12}{17} + 2\frac{7}{11} \right) \) Решение: 1) Выполним сложение в скобках: \[ \frac{12}{17} + 2\frac{7}{11} = \frac{12}{17} + \frac{29}{11} = \frac{12 \cdot 11 + 29 \cdot 17}{187} = \frac{132 + 493}{187} = \frac{625}{187} \] 2) Выполним деление: \[ 1\frac{8}{17} : \frac{625}{187} = \frac{25}{17} \cdot \frac{187}{625} = \frac{25 \cdot 187}{17 \cdot 625} = \frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 25} = \frac{11}{25} = 0,44 \] Ответ: 0,44 Задание 7 На координатной прямой отмечены точки \( c \) и \( a \). Из рисунка видно, что \( c < 0 \), \( a > 0 \) и \( |c| > |a| \) (точка \( c \) дальше от нуля влево). Проверим утверждения: 1) \( a - 1 > c - 1 \) — верно, так как \( a > c \). 2) \( -a < -c \) — неверно. Так как \( c < a \), то при умножении на \(-1\) знак меняется: \( -c > -a \). 3) \( \frac{a}{6} < \frac{c}{6} \) — неверно, так как \( a > c \). 4) \( a + 3 > c + 1 \) — верно, так как \( a > c \) и \( 3 > 1 \). В вопросе просят указать неверное. Подходят 2 и 3, но обычно в таких тестах один вариант. Если \( c \) сильно левее, то 2 точно неверно. Ответ: 2 (или 3) Задание 8 Найдите значение выражения: \( \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} \) Решение: \[ \frac{\sqrt{21 \cdot 14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} = \sqrt{7 \cdot 7} = 7 \] Ответ: 7 Задание 9 Решите уравнение: \( x^2 + 7x - 18 = 0 \) Решение по теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -7 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} \] Корни: \( x_1 = -9 \), \( x_2 = 2 \). Записать в порядке возрастания без пробелов. Ответ: -92 Задание 10 Вероятность того, что ручка пишет плохо: \( P(A) = 0,19 \). Вероятность того, что ручка пишет хорошо (противоположное событие): \[ P(\bar{A}) = 1 - 0,19 = 0,81 \] Ответ: 0,81 Задание 11 А) Функция возрастает на промежутке: по графику ветви параболы идут вверх до вершины (\( x \approx 2 \)). Подходит промежуток \([-1; 1]\). (Цифра 2) Б) Функция убывает на промежутке: после вершины (\( x > 2 \)). Подходит промежуток \([2; 4]\). (Цифра 3) Ответ: 23 Задание 12 Дано: \( S = 28 \), \( h = 14 \). Формула: \( S = \frac{1}{2}ah \). Найти \( a \): \[ 28 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 14 \] \[ 28 = 7a \] \[ a = 4 \] Ответ: 4 Задание 13 Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x + 3 \ge -2 \\ x + 1,1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge -1,1 \end{cases} \] Общим решением является \( x \ge -1,1 \). Ответ: \( [-1,1; +\infty) \) Задание 23 В треугольнике \( ABC \): \( \angle A = 20^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \). 1) Найдём \( \angle B = 180^\circ - (20^\circ + 60^\circ) = 100^\circ \). 2) Биссектриса \( BD \) делит \( \angle B \) пополам: \( \angle ABD = \angle CBD = 100^\circ : 2 = 50^\circ \). 3) В прямоугольном \( \triangle BHC \) (\( BH \) — высота): \( \angle HBC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). 4) Угол между высотой и биссектрисой: \( \angle HBD = \angle CBD - \angle HBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ \). Ответ: 20 Задание 25 Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза \( c = 12 \), площадь \( S = 18 \). Найти острые углы. Решение: \[ S = \frac{1}{2}ab = 18 \Rightarrow ab = 36 \] \[ a^2 + b^2 = c^2 = 144 \] Используем формулу площади через гипотенузу и углы: \( S = \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} c^2 \sin 2\alpha \). \[ 18 = \frac{1}{4} \cdot 144 \cdot \sin 2\alpha \] \[ 18 = 36 \cdot \sin 2\alpha \Rightarrow \sin 2\alpha = 0,5 \] Значит, \( 2\alpha = 30^\circ \) или \( 2\alpha = 150^\circ \). \( \alpha_1 = 15^\circ \), тогда второй угол \( 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \). Ответ: 15; 75.