Решение задачи: Найти точку N пересечения прямых AB и CD

Ниже представлено решение задачи №3 из вашего билета, оформленное для записи в тетрадь. Задача №3. Даны точки \(A(2, 1, -6)\), \(B(-3, -2, 0)\), \(C(2, -3, 1)\), \(D(3, -1, 2)\). Найти точку \(N = AB \cap CD\). Решение: 1. Составим канонические уравнения прямой \(AB\). Направляющий вектор прямой \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \): \[ \vec{AB} = (-3 - 2; -2 - 1; 0 - (-6)) = (-5; -3; 6) \] Уравнение прямой \(AB\): \[ \frac{x - 2}{-5} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z + 6}{6} = t \] Отсюда выразим координаты произвольной точки прямой \(AB\) через параметр \(t\): \[ x = -5t + 2 \] \[ y = -3t + 1 \] \[ z = 6t - 6 \] 2. Составим канонические уравнения прямой \(CD\). Направляющий вектор прямой \( \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) \): \[ \vec{CD} = (3 - 2; -1 - (-3); 2 - 1) = (1; 2; 1) \] Уравнение прямой \(CD\): \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1} = s \] Отсюда выразим координаты произвольной точки прямой \(CD\) через параметр \(s\): \[ x = s + 2 \] \[ y = 2s - 3 \] \[ z = s + 1 \] 3. Найдем точку пересечения \(N\), приравняв соответствующие координаты: \[ \begin{cases} -5t + 2 = s + 2 \\ -3t + 1 = 2s - 3 \\ 6t - 6 = s + 1 \end{cases} \] Из первого уравнения: \( s = -5t \). Подставим во второе уравнение: \[ -3t + 1 = 2(-5t) - 3 \] \[ -3t + 1 = -10t - 3 \] \[ 7t = -4 \] \[ t = -\frac{4}{7} \] Найдем \(s\): \[ s = -5 \cdot \left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{20}{7} \] Проверим значения в третьем уравнении: \[ 6 \cdot \left(-\frac{4}{7}\right) - 6 = -\frac{24}{7} - \frac{42}{7} = -\frac{66}{7} \] \[ s + 1 = \frac{20}{7} + 1 = \frac{27}{7} \] Так как \( -\frac{66}{7} \neq \frac{27}{7} \), система не имеет решений. Это означает, что прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются (являются скрещивающимися). Однако, в задачах на проективную геометрию (согласно теме билета) ищется точка пересечения в расширенном пространстве. Если прямые не пересекаются в евклидовом пространстве, они могут пересекаться в несобственной (бесконечно удаленной) точке, если они параллельны. Проверим коллинеарность векторов \(\vec{AB}(-5, -3, 6)\) и \(\vec{CD}(1, 2, 1)\): \[ \frac{-5}{1} \neq \frac{-3}{2} \neq \frac{6}{1} \] Векторы не пропорциональны, прямые не параллельны. Вывод: В обычном евклидовом пространстве точки пересечения \(N\) не существует, так как прямые скрещиваются. Ответ: Прямые \(AB\) и \(CD\) скрещиваются, точка пересечения \(N\) в евклидовом пространстве отсутствует.