Решение задачи: Ряд Фурье

Ряд Фурье — это способ представления периодической функции в виде суммы синусов и косинусов. Он очень полезен в физике, инженерии и математике для анализа периодических явлений, таких как звуковые волны, электрические сигналы или колебания. Давайте разберем основные понятия и формулы.

Что такое периодическая функция?

Периодическая функция \(f(x)\) — это функция, которая повторяет свои значения через определенный интервал, называемый периодом \(T\). То есть, \(f(x + T) = f(x)\) для всех \(x\).

Основная идея ряда Фурье

Идея состоит в том, что любую достаточно "хорошую" периодическую функцию можно представить как бесконечную сумму гармонических колебаний (синусов и косинусов) с разными частотами и амплитудами.

Формула ряда Фурье

Для функции \(f(x)\) с периодом \(T = 2L\) (то есть, функция определена на интервале \([-L, L]\) или \([0, 2L]\)), ряд Фурье имеет вид: \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\] Где \(a_0\), \(a_n\) и \(b_n\) — это коэффициенты Фурье, которые определяются по следующим формулам: 1. Коэффициент \(a_0\): \[a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx\] Этот коэффициент представляет собой удвоенное среднее значение функции за один период. 2. Коэффициенты \(a_n\): \[a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx\] Эти коэффициенты показывают "вклад" косинусных составляющих в ряд. 3. Коэффициенты \(b_n\): \[b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx\] Эти коэффициенты показывают "вклад" синусных составляющих в ряд.

Важные замечания

* Интервал интегрирования: Интегрирование можно проводить по любому интервалу длиной в один период. Например, если период \(T = 2L\), то можно интегрировать от \(-L\) до \(L\), или от \(0\) до \(2L\). Главное, чтобы длина интервала была равна периоду. * Условия Дирихле: Не любая функция может быть представлена рядом Фурье. Для того чтобы ряд Фурье сходился к функции \(f(x)\), функция должна удовлетворять так называемым условиям Дирихле: * Функция должна быть кусочно-непрерывной (иметь конечное число разрывов первого рода на любом конечном интервале). * Функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов на любом конечном интервале. * Функция должна быть абсолютно интегрируемой на периоде, то есть \(\int_{-L}^{L} |f(x)| \, dx < \infty\). * Сходимость: * В точках непрерывности функции \(f(x)\) ряд Фурье сходится к \(f(x)\). * В точках разрыва первого рода ряд Фурье сходится к среднему арифметическому пределов функции слева и справа: \(\frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}\).

Пример: Разложение прямоугольной волны в ряд Фурье

Давайте рассмотрим функцию прямоугольной волны с периодом \(T = 2\pi\), определенную на интервале \([-\pi, \pi]\) следующим образом: \[f(x) = \begin{cases} -1, & -\pi < x < 0 \\ 1, & 0 < x < \pi \end{cases}\] Здесь \(L = \pi\). 1. Находим \(a_0\): \[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \, dx + \int_{0}^{\pi} (1) \, dx \right)\] \[a_0 = \frac{1}{\pi} \left( [-x]_{-\pi}^{0} + [x]_{0}^{\pi} \right) = \frac{1}{\pi} \left( (0 - (-\pi)) + (\pi - 0) \right)\] \[a_0 = \frac{1}{\pi} \left( -\pi + \pi \right) = 0\] 2. Находим \(a_n\): \[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} (1) \cos(nx) \, dx \right)\] \[a_n = \frac{1}{\pi} \left( \left[ -\frac{\sin(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \right)\] Поскольку \(\sin(0) = 0\), \(\sin(n\pi) = 0\) и \(\sin(-n\pi) = 0\) для любого целого \(n\), то: \[a_n = \frac{1}{\pi} \left( (0 - 0) + (0 - 0) \right) = 0\] 3. Находим \(b_n\): \[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} (1) \sin(nx) \, dx \right)\] \[b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left[ \frac{\cos(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \right)\] \[b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left( \frac{\cos(0)}{n} - \frac{\cos(-n\pi)}{n} \right) + \left( -\frac{\cos(n\pi)}{n} - (-\frac{\cos(0)}{n}) \right) \right)\] Помним, что \(\cos(0) = 1\) и \(\cos(n\pi) = (-1)^n\). Также \(\cos(-n\pi) = \cos(n\pi) = (-1)^n\). \[b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left( \frac{1}{n} - \frac{(-1)^n}{n} \right) + \left( -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \right) \right)\] \[b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1 - (-1)^n}{n} + \frac{1 - (-1)^n}{n} \right) = \frac{2}{\pi n} (1 - (-1)^n)\] Теперь рассмотрим значения \(b_n\) для четных и нечетных \(n\): * Если \(n\) четное, то \(n = 2k\), и \((-1)^n = 1\). Тогда \(b_n = \frac{2}{\pi n} (1 - 1) = 0\). * Если \(n\) нечетное, то \(n = 2k+1\), и \((-1)^n = -1\). Тогда \(b_n = \frac{2}{\pi n} (1 - (-1)) = \frac{2}{\pi n} (2) = \frac{4}{\pi n}\). Таким образом, ряд Фурье для прямоугольной волны будет: \[f(x) = \sum_{n=1, n \text{ нечетное}}^{\infty} \frac{4}{\pi n} \sin(nx)\] Или, записывая только нечетные члены: \[f(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(x) + \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{5}\sin(5x) + \dots \right)\] Этот пример хорошо иллюстрирует, как ряд Фурье позволяет аппроксимировать даже "негладкие" функции с помощью суммы синусов и косинусов. Чем больше членов ряда мы возьмем, тем точнее будет аппроксимация.