Решение: Ряд Фурье, Сумма ряда Фурье

Сумма ряда Фурье — это значение, к которому сходится бесконечный ряд Фурье в каждой точке. Важно понимать, что сумма ряда Фурье не всегда равна самой функции \(f(x)\) во всех точках, особенно в точках разрыва.

Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье

Эта теорема описывает, к чему сходится ряд Фурье для функции, удовлетворяющей условиям Дирихле. Пусть функция \(f(x)\) с периодом \(T = 2L\) удовлетворяет условиям Дирихле на интервале \([-L, L]\) (или любом другом интервале длиной \(2L\)). Тогда: 1. В точках непрерывности: Если \(x_0\) — точка, в которой функция \(f(x)\) непрерывна, то ряд Фурье сходится к значению функции в этой точке: \[S(x_0) = f(x_0)\] 2. В точках разрыва первого рода: Если \(x_0\) — точка разрыва первого рода (то есть, существуют конечные пределы функции слева и справа от \(x_0\)), то ряд Фурье сходится к среднему арифметическому этих пределов: \[S(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}\] Где \(f(x_0^-) = \lim_{h \to 0^+} f(x_0 - h)\) — предел функции слева, и \(f(x_0^+) = \lim_{h \to 0^+} f(x_0 + h)\) — предел функции справа. 3. На концах интервала (для периодического продолжения): Если функция \(f(x)\) определена на интервале \([-L, L]\) и затем периодически продолжена, то в точках \(x = \pm L\) (которые являются точками разрыва для периодического продолжения, если \(f(-L) \neq f(L)\)), ряд Фурье сходится к: \[S(\pm L) = \frac{f(-L^+) + f(L^-)}{2}\] Это также является частным случаем правила для точек разрыва, так как для периодической функции \(f(L^+) = f(-L^+)\).

Пример с прямоугольной волной (продолжение)

Вернемся к нашему примеру с прямоугольной волной: \[f(x) = \begin{cases} -1, & -\pi < x < 0 \\ 1, & 0 < x < \pi \end{cases}\] с периодом \(T = 2\pi\). Ряд Фурье для этой функции: \[S(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(x) + \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{5}\sin(5x) + \dots \right)\] Давайте проанализируем сумму ряда \(S(x)\) в разных точках: 1. В точках непрерывности: * Если \(x \in (-\pi, 0)\), например, \(x = -\frac{\pi}{2}\), то \(f(-\frac{\pi}{2}) = -1\). Ряд Фурье сходится к \(-1\). * Если \(x \in (0, \pi)\), например, \(x = \frac{\pi}{2}\), то \(f(\frac{\pi}{2}) = 1\). Ряд Фурье сходится к \(1\). 2. В точках разрыва: * Рассмотрим точку \(x = 0\). * Предел слева: \(f(0^-) = \lim_{h \to 0^+} f(0 - h) = \lim_{h \to 0^+} f(-h) = -1\) (так как \(-h \in (-\pi, 0)\)). * Предел справа: \(f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} f(0 + h) = \lim_{h \to 0^+} f(h) = 1\) (так как \(h \in (0, \pi)\)). * Сумма ряда Фурье в точке \(x = 0\): \[S(0) = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0\] Давайте проверим это, подставив \(x=0\) в ряд Фурье: \[S(0) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(0) + \frac{1}{3}\sin(0) + \frac{1}{5}\sin(0) + \dots \right) = \frac{4}{\pi} (0 + 0 + 0 + \dots) = 0\] Это совпадает с предсказанием теоремы Дирихле. * Рассмотрим точки \(x = \pm \pi\) (границы интервала, которые являются точками разрыва для периодического продолжения). * Предел функции при приближении к \(\pi\) слева: \(f(\pi^-) = \lim_{h \to 0^+} f(\pi - h) = 1\) (так как \(\pi - h \in (0, \pi)\)). * Предел функции при приближении к \(-\pi\) справа: \(f(-\pi^+) = \lim_{h \to 0^+} f(-\pi + h) = -1\) (так как \(-\pi + h \in (-\pi, 0)\)). * Сумма ряда Фурье в точках \(x = \pm \pi\): \[S(\pm \pi) = \frac{f(-\pi^+) + f(\pi^-)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0\] Давайте проверим это, подставив \(x=\pi\) в ряд Фурье: \[S(\pi) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(\pi) + \frac{1}{3}\sin(3\pi) + \frac{1}{5}\sin(5\pi) + \dots \right)\] Поскольку \(\sin(n\pi) = 0\) для любого целого \(n\), то: \[S(\pi) = \frac{4}{\pi} (0 + 0 + 0 + \dots) = 0\] Это также совпадает с предсказанием теоремы Дирихле.

Вывод

Сумма ряда Фурье \(S(x)\) для функции \(f(x)\) с периодом \(2L\), удовлетворяющей условиям Дирихле, определяется следующим образом: \[S(x) = \begin{cases} f(x), & \text{если } x \text{ - точка непрерывности } f(x) \\ \frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}, & \text{если } x \text{ - точка разрыва первого рода } f(x) \end{cases}\] Это очень важный результат, который позволяет точно знать, к чему сходится ряд Фурье в любой точке, даже там, где сама функция имеет "скачки".