Отлично, давайте решим эту задачу по шагам, чтобы было удобно переписать в тетрадь.
Задача 3
Дана функция \(f(x) = -x + 1\), определенная на интервале \(x \in (0, 4)\), с периодом \(T = 4\).
Требуется:
1. Построить график функции \(f(x)\) на интервале \((-4, 8)\).
2. Разложить функцию \(f(x)\) в ряд Фурье.
3. Вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x = 4\).
Шаг 1: Построение графика функции
Функция \(f(x) = -x + 1\) определена на интервале \((0, 4)\).
Найдем значения функции на концах этого интервала:
* При \(x \to 0^+\), \(f(x) \to -0 + 1 = 1\). Точка \((0, 1)\) (не включена).
* При \(x \to 4^-\), \(f(x) \to -4 + 1 = -3\). Точка \((4, -3)\) (не включена).
Поскольку функция периодическая с периодом \(T = 4\), мы можем построить ее на других интервалах, используя свойство \(f(x + T) = f(x)\).
* На интервале \((0, 4)\): функция убывает от \(1\) до \(-3\).
* На интервале \((4, 8)\): это следующий период. Значения функции будут такими же, как на \((0, 4)\), но сдвинутыми.
* При \(x \to 4^+\), \(f(x) \to f(0^+) = 1\).
* При \(x \to 8^-\), \(f(x) \to f(4^-) = -3\).
То есть, на \((4, 8)\) функция также убывает от \(1\) до \(-3\).
* На интервале \((-4, 0)\): это предыдущий период.
* При \(x \to -4^+\), \(f(x) \to f(0^+) = 1\).
* При \(x \to 0^-\), \(f(x) \to f(4^-) = -3\).
То есть, на \((-4, 0)\) функция также убывает от \(1\) до \(-3\).
График будет представлять собой "пилу" из отрезков прямых линий. В точках \(x = 0, 4, 8, -4\) и т.д. будут разрывы первого рода.
(Здесь должен быть рисунок графика. Если вы рисуете в тетради, нарисуйте оси координат. Отметьте точки \((0,1)\) (пустой кружок), \((4,-3)\) (пустой кружок). Соедините их прямой линией. Затем повторите этот отрезок на интервалах \((-4,0)\) и \((4,8)\). В точках \(x=0, 4, 8, -4\) нарисуйте пустые кружки в начале и конце каждого отрезка, чтобы показать, что эти точки не включены в определение функции на интервале.)
Шаг 2: Разложение функции в ряд Фурье
Функция \(f(x) = -x + 1\) определена на интервале \((0, 4)\) с периодом \(T = 4\).
Для ряда Фурье нам нужен параметр \(L\). Поскольку \(T = 2L\), то \(4 = 2L\), откуда \(L = 2\).
Интервал интегрирования для коэффициентов Фурье можно взять \([0, 4]\).
Формула ряда Фурье:
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\]
Подставляем \(L = 2\):
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
Вычислим коэффициенты Фурье:
1. Коэффициент \(a_0\):
\[a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x + 1) \, dx\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4}\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( \left( -\frac{4^2}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{0^2}{2} + 0 \right) \right)\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( -\frac{16}{2} + 4 \right) = \frac{1}{2} (-8 + 4) = \frac{1}{2} (-4) = -2\]
2. Коэффициенты \(a_n\):
\[a_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x + 1) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx\]
Для вычисления этого интеграла используем интегрирование по частям: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).
Пусть \(u = -x + 1\), тогда \(du = -dx\).
Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx\), тогда \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\).
\[\int (-x+1) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx = (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \int \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) (-dx)\]
\[= \frac{2(-x+1)}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{2}{n\pi} \int \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx\]
\[= \frac{2(-x+1)}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{2}{n\pi} \left( -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[= \frac{2(-x+1)}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
Теперь подставим пределы интегрирования от \(0\) до \(4\):
\[a_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{2(-x+1)}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
Вспомним, что \(\sin(n\pi) = 0\) и \(\sin(0) = 0\).
Также \(\cos(2n\pi) = 1\) и \(\cos(0) = 1\).
При \(x=4\):
\(\frac{2(-4+1)}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) = \frac{2(-3)}{n\pi} \sin(2n\pi) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos(2n\pi) = 0 - \frac{4}{(n\pi)^2} (1) = -\frac{4}{(n\pi)^2}\)
При \(x=0\):
\(\frac{2(-0+1)}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = 0 - \frac{4}{(n\pi)^2} (1) = -\frac{4}{(n\pi)^2}\)
Тогда:
\[a_n = \frac{1}{2} \left( \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} \right) - \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} \right) \right) = \frac{1}{2} (0) = 0\]
3. Коэффициенты \(b_n\):
\[b_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x + 1) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx\]
Снова используем интегрирование по частям: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).
Пусть \(u = -x + 1\), тогда \(du = -dx\).
Пусть \(dv = \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx\), тогда \(v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\).
\[\int (-x+1) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx = (-x+1) \left( -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right) - \int \left( -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right) (-dx)\]
\[= -\frac{2(-x+1)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{2}{n\pi} \int \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \, dx\]
\[= -\frac{2(-x+1)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{2}{n\pi} \left( \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[= -\frac{2(-x+1)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
Теперь подставим пределы интегрирования от \(0\) до \(4\):
\[b_n = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2(-x+1)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
Вспомним, что \(\sin(n\pi) = 0\) и \(\sin(0) = 0\).
Также \(\cos(2n\pi) = 1\) и \(\cos(0) = 1\).
При \(x=4\):
\(-\frac{2(-4+1)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) = -\frac{2(-3)}{n\pi} \cos(2n\pi) - 0 = \frac{6}{n\pi} (1) = \frac{6}{n\pi}\)
При \(x=0\):
\(-\frac{2(-0+1)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = -\frac{2(1)}{n\pi} \cos(0) - 0 = -\frac{2}{n\pi} (1) = -\frac{2}{n\pi}\)
Тогда:
\[b_n = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{6}{n\pi} \right) - \left( -\frac{2}{n\pi} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6}{n\pi} + \frac{2}{n\pi} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{n\pi} \right) = \frac{4}{n\pi}\]
Итак, коэффициенты Фурье:
\(a_0 = -2\)
\(a_n = 0\) для всех \(n \ge 1\)
\(b_n = \frac{4}{n\pi}\) для всех \(n \ge 1\)
Подставляем эти коэффициенты в формулу ряда Фурье:
\[f(x) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
\[f(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
Шаг 3: Вычисление значения суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x = 4\)
Точка \(x = 4\) является точкой разрыва первого рода для периодического продолжения функции \(f(x)\).
Согласно теореме Дирихле, в точке разрыва сумма ряда Фурье сходится к среднему арифметическому пределов функции слева и справа.
Для точки \(x = 4\):
* Предел функции слева: \(f(4^-) = \lim_{h \to 0^+} f(4 - h)\). Поскольку \(4 - h \in (0, 4)\), то \(f(4 - h) = -(4 - h) + 1 = -4 + h + 1 = -3 + h\).
Значит, \(f(4^-) = -3\).
* Предел функции справа: \(f(4^+) = \lim_{h \to 0^+} f(4 + h)\). Из-за периодичности с периодом \(T=4\), \(f(4 + h) = f(0 + h)\). Поскольку \(0 + h \in (0, 4)\), то \(f(0 + h) = -(0 + h) + 1 = 1 - h\).
Значит, \(f(4^+) = 1\).
Сумма ряда \(S(4)\) будет равна:
\[S(4) = \frac{f(4^-) + f(4^+)}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Давайте также проверим это, подставив \(x=4\) в полученный ряд Фурье:
\[S(4) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right)\]
\[S(4) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(2n\pi)\]
Поскольку \(\sin(2n\pi) = 0\) для любого целого \(n\), то:
\[S(4) = -1 + \frac{4}{\pi} (0 + 0 + 0 + \dots) = -1\]
Результат совпадает.
Ответы:
1. График функции \(f(x)\) на интервале \((-4, 8)\):
(Здесь должен быть рисунок графика, как описано выше: "пила" из отрезков прямых, убывающих от \(1\) до \(-3\) на каждом интервале \((0,4)\), \((4,8)\), \((-4,0)\). В точках \(x=0, 4, 8, -4\) функция имеет разрывы.)
2. Разложение функции \(f(x)\) в ряд Фурье:
\[f(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
3. Значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x = 4\):
\[S(4) = -1\]
