Решение задачи по геометрии: Параллельность в кубе

Контрольная работа по теме «Параллельность прямых и плоскостей» Вариант-1 Задача №2 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб. Диагональ грани \(d = 4a\). Плоскость \(\alpha\) проходит через середину \(CD\) и \(\alpha \parallel (BC_1D)\). Найти: \(S_{сеч}\). Решение: 1. Рассмотрим плоскость \(BC_1D\). Она проходит через диагонали граней куба: \(BD\), \(BC_1\) и \(DC_1\). Так как все грани куба — равные квадраты, то \(BD = BC_1 = DC_1 = 4a\). Следовательно, треугольник \(BC_1D\) — равносторонний. 2. Пусть \(M\) — середина ребра \(CD\). По условию сечение проходит через \(M\) параллельно плоскости \(BC_1D\). 3. В плоскости грани \(CDD_1C_1\) через точку \(M\) проведем прямую \(MN \parallel DC_1\), где \(N\) — середина \(CC_1\). 4. В плоскости основания \(ABCD\) через точку \(M\) проведем прямую \(MK \parallel DB\), где \(K\) — середина \(BC\). 5. Соединим точки \(N\) и \(K\). Отрезок \(NK\) будет параллелен \(C_1B\), так как \(NK\) — средняя линия треугольника \(BCC_1\). 6. Полученный треугольник \(MNK\) и есть искомое сечение. Так как его стороны являются средними линиями треугольника \(BC_1D\) (или параллельны им и в 2 раза меньше), то \(MNK\) — равносторонний треугольник со стороной: \[MN = MK = NK = \frac{1}{2} \cdot 4a = 2a\] 7. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\text{сторона})^2\] \[S_{сеч} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4a^2 = a^2\sqrt{3}\] Ответ: \(a^2\sqrt{3}\). Чертеж к задаче №2: Нарисуйте куб. Проведите пунктиром треугольник \(BC_1D\). Отметьте середины ребер \(CD\) (точка \(M\)), \(BC\) (точка \(K\)) и \(CC_1\) (точка \(N\)). Соедините их сплошными линиями. Треугольник \(MNK\) — искомое сечение. --- Задача №3 Дано: \(DABC\) — тетраэдр. \(M, N, P\) — середины ребер \(AB, BC, CD\). \(AC = 7\) см, \(BD = 11\) см. Доказать: \(K \in (MNP)\), где \(K\) — середина \(AD\). Определить: вид \(MNPK\) и \(P_{сеч}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(MN\) — средняя линия, значит \(MN \parallel AC\) и \(MN = \frac{1}{2} AC = 3,5\) см. 2. Рассмотрим треугольник \(ADC\). Пусть \(K\) — середина \(AD\). Тогда \(KP\) — средняя линия, значит \(KP \parallel AC\) и \(KP = \frac{1}{2} AC = 3,5\) см. 3. Так как \(MN \parallel AC\) и \(KP \parallel AC\), то по свойству параллельности прямых \(MN \parallel KP\). 4. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Значит, точки \(M, N, P, K\) лежат в одной плоскости. Это доказывает, что плоскость \(MNP\) проходит через середину \(AD\) (точку \(K\)). 5. Рассмотрим треугольник \(ABD\). \(MK\) — средняя линия, значит \(MK \parallel BD\) и \(MK = \frac{1}{2} BD = \frac{11}{2} = 5,5\) см. 6. Аналогично в треугольнике \(BCD\), \(NP\) — средняя линия, \(NP \parallel BD\) и \(NP = 5,5\) см. 7. В четырехугольнике \(MNPK\): \(MN \parallel KP\) и \(MK \parallel NP\). Следовательно, \(MNPK\) — параллелограмм. Так как \(MN \neq MK\), это не ромб. 8. Периметр сечения: \[P = 2 \cdot (MN + MK) = 2 \cdot (3,5 + 5,5) = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см}\] Ответ: \(MNPK\) — параллелограмм, \(P = 18\) см. Чертеж к задаче №3: Нарисуйте пирамиду (тетраэдр) \(DABC\). Отметьте точки \(M, N, P, K\) на серединах соответствующих ребер. Соедините их последовательно. Получится плоский четырехугольник внутри тетраэдра.