Задача 1
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Четырёхугольник \(ABCD\). Углы \(A\) и \(C\) прямые. Стороны \(AB = CD\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\).
- Сторона \(AB = CD\) (по условию).
- Сторона \(BD\) — общая для обоих треугольников.
- Угол \(\angle A = \angle C = 90^\circ\) (по условию).
Поскольку у нас есть две стороны и угол, лежащий напротив одной из этих сторон, мы можем использовать признак равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе и катету. В данном случае \(BD\) — гипотенуза, а \(AB\) и \(CD\) — катеты.
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CDB\) (по гипотенузе и катету).
Задача 2
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Треугольник \(\triangle KMN\). Точка \(T\) на стороне \(MN\). Отрезок \(KT \perp MN\). Сторона \(KM = KN\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle KMT\) и \(\triangle KNT\).
- Сторона \(KM = KN\) (по условию).
- Сторона \(KT\) — общая для обоих треугольников.
- Угол \(\angle KTN = \angle KTM = 90^\circ\) (так как \(KT \perp MN\)).
Поскольку \(\triangle KMT\) и \(\triangle KNT\) являются прямоугольными треугольниками, и у них равны гипотенузы (\(KM = KN\)) и общий катет (\(KT\)), то:
Следовательно, \(\triangle KMT = \triangle KNT\) (по гипотенузе и катету).
Задача 3
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Треугольники \(\triangle PRK\) и \(\triangle SRK\). Угол \(\angle PRK = \angle SRK\). Угол \(\angle PKR = \angle SKR\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle PRK\) и \(\triangle SRK\).
- Сторона \(RK\) — общая для обоих треугольников.
- Угол \(\angle PRK = \angle SRK\) (по условию).
- Угол \(\angle PKR = \angle SKR\) (по условию).
Поскольку у нас есть сторона и два прилежащих к ней угла, то:
Следовательно, \(\triangle PRK = \triangle SRK\) (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Задача 4
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Четырёхугольник \(REFS\). Отрезок \(RS\) — диагональ. Угол \(\angle R = \angle S = 90^\circ\). Сторона \(RE = SF\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle RES\) и \(\triangle SFR\).
- Сторона \(RE = SF\) (по условию).
- Сторона \(RS\) — общая для обоих треугольников.
- Угол \(\angle ERS = \angle FSR = 90^\circ\) (по условию).
Поскольку \(\triangle RES\) и \(\triangle SFR\) являются прямоугольными треугольниками, и у них равны катеты (\(RE = SF\)) и общая гипотенуза (\(RS\)), то:
Следовательно, \(\triangle RES = \triangle SFR\) (по гипотенузе и катету).
Задача 5
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Треугольник \(\triangle RST\). Точка \(M\) на стороне \(ST\). Отрезки \(RP \perp SM\) и \(RK \perp MT\). Сторона \(RP = RK\). Угол \(\angle RMP = \angle RMK = 90^\circ\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle RPM\) и \(\triangle RKM\).
- Сторона \(RP = RK\) (по условию).
- Сторона \(RM\) — общая для обоих треугольников.
- Угол \(\angle RPM = \angle RKM = 90^\circ\) (по условию, так как \(RP \perp SM\) и \(RK \perp MT\)).
Поскольку \(\triangle RPM\) и \(\triangle RKM\) являются прямоугольными треугольниками, и у них равны катеты (\(RP = RK\)) и общая гипотенуза (\(RM\)), то:
Следовательно, \(\triangle RPM = \triangle RKM\) (по гипотенузе и катету).
Задача 6
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Треугольник \(\triangle ABC\). Точка \(D\) на стороне \(AB\). Отрезки \(DE \perp AC\) и \(DF \perp BC\). Сторона \(AD = DB\). Угол \(\angle CAD = \angle CBD\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle ADE\) и \(\triangle BDF\).
- Сторона \(AD = DB\) (по условию).
- Угол \(\angle DEA = \angle DFB = 90^\circ\) (так как \(DE \perp AC\) и \(DF \perp BC\)).
- Угол \(\angle DAE = \angle DBF\) (по условию, \(\angle CAD = \angle CBD\)).
Поскольку у нас есть гипотенуза и острый угол в прямоугольных треугольниках, то:
Следовательно, \(\triangle ADE = \triangle BDF\) (по гипотенузе и острому углу).
Задача 7
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Отрезки \(MS\) и \(NR\) пересекаются в точке \(T\). Угол \(\angle M = \angle N = 90^\circ\). Сторона \(MT = NT\). Угол \(\angle MRT = \angle NST\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle MRT\) и \(\triangle NST\).
- Сторона \(MT = NT\) (по условию).
- Угол \(\angle M = \angle N = 90^\circ\) (по условию).
- Угол \(\angle MTR = \angle NTS\) (как вертикальные углы).
Поскольку у нас есть сторона и два прилежащих к ней угла (один из которых прямой), то:
Следовательно, \(\triangle MRT = \triangle NST\) (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Задача 8
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Треугольники \(\triangle KRM\) и \(\triangle LRN\). Точка \(R\) — середина отрезка \(KL\). Угол \(\angle K = \angle L = 90^\circ\). Сторона \(KM = LN\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle KRM\) и \(\triangle LRN\).
- Сторона \(KR = LR\) (так как \(R\) — середина \(KL\)).
- Угол \(\angle K = \angle L = 90^\circ\) (по условию).
- Сторона \(KM = LN\) (по условию).
Поскольку у нас есть два катета в прямоугольных треугольниках, то:
Следовательно, \(\triangle KRM = \triangle LRN\) (по двум катетам).
Задача 9
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Треугольник \(\triangle ABC\). Точки \(E\) и \(M\) на стороне \(AB\). Отрезки \(DE \perp AB\) и \(FM \perp AB\). Сторона \(AE = MB\). Угол \(\angle A = \angle B\). Угол \(\angle ADE = \angle BFM\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle ADE\) и \(\triangle BFM\).
- Сторона \(AE = MB\) (по условию).
- Угол \(\angle A = \angle B\) (по условию).
- Угол \(\angle AED = \angle BMF = 90^\circ\) (так как \(DE \perp AB\) и \(FM \perp AB\)).
Поскольку у нас есть сторона и два прилежащих к ней угла, то:
Следовательно, \(\triangle ADE = \triangle BFM\) (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Задача 10
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство.
Дано: Четырёхугольник \(ABCD\). Отрезок \(DB\) — диагональ. Угол \(\angle A = \angle C = 90^\circ\). Сторона \(AD = BC\).
Найти: Равные треугольники.
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\).
- Сторона \(AD = BC\) (по условию).
- Сторона \(DB\) — общая для обоих треугольников.
- Угол \(\angle A = \angle C = 90^\circ\) (по условию).
Поскольку у нас есть гипотенуза (\(DB\)) и катет (\(AD\) и \(BC\)) в прямоугольных треугольниках, то:
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CDB\) (по гипотенузе и катету).