Решение задачи: С графом (дерево вероятностей)

Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Задача 1 Условие: В урне 3 белых (Б) и 6 красных (К) шаров. Извлекают два шара без возвращения. Всего шаров: \(3 + 6 = 9\). Граф (дерево вероятностей): Для первого шара: — Ветка к Б: \(P(Б_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) — Ветка к К: \(P(К_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) Для второго шара (после того как один вынут, осталось 8 шаров): 1. Если первый был Б (осталось 2Б и 6К): — Ветка к Б: \(P(Б_2|Б_1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) — Ветка к К: \(P(К_2|Б_1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) 2. Если первый был К (осталось 3Б и 5К): — Ветка к Б: \(P(Б_2|К_1) = \frac{3}{8}\) — Ветка к К: \(P(К_2|К_1) = \frac{5}{8}\) Решение: а) Событие А: первый красный, второй белый. \[P(A) = P(К_1) \cdot P(Б_2|К_1) = \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25\] б) Событие B: оба шара белые. \[P(B) = P(Б_1) \cdot P(Б_2|Б_1) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \approx 0,083\] Ответ: а) 0,25; б) 1/12. Задача 2 Условие: Больны гепатитом (Г): \(P(Г) = 5\% = 0,05\) Здоровы (З): \(P(З) = 1 - 0,05 = 0,95\) Вероятность положительного теста (+) у больных: \(P(+|Г) = 0,9\) Вероятность ложноположительного теста (+) у здоровых: \(P(+|З) = 0,01\) Граф (дерево вероятностей): Корень (пациент) разветвляется на: — Г (0,05) —> далее ветка "+" (0,9) — З (0,95) —> далее ветка "+" (0,01) Решение: Для нахождения полной вероятности положительного результата \(P(+)\) используем формулу полной вероятности: \[P(+) = P(Г) \cdot P(+|Г) + P(З) \cdot P(+|З)\] Подставим значения: \[P(+) = 0,05 \cdot 0,9 + 0,95 \cdot 0,01\] \[P(+) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545\] Ответ: 0,0545.