Решение задачи: Сокращение дробей и упрощение выражений

Ниже представлено решение задач с фотографии, оформленное для записи в тетрадь. № 1. Сократите дробь а) \(\frac{16 \cdot a^4 \cdot b^8}{8 \cdot a^7 \cdot b^4}\) Решение: Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (при делении степеней показатели вычитаются): \[ \frac{16}{8} \cdot a^{4-7} \cdot b^{8-4} = 2 \cdot a^{-3} \cdot b^4 = \frac{2b^4}{a^3} \] б) \(\frac{9 - x^2}{x^2 + 6x + 9}\) Решение: Разложим числитель по формуле разности квадратов, а знаменатель по формуле квадрата суммы: \[ \frac{(3 - x)(3 + x)}{(x + 3)^2} = \frac{(3 - x)(3 + x)}{(3 + x)(3 + x)} = \frac{3 - x}{3 + x} \] № 2. Упростите выражение и найдите его значение \(\frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{x^2 - 4}\) при \(x = 2\) Решение: 1) Приведем дроби к общему знаменателю \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\): \[ \frac{4(x - 2) - 3(x + 2) + 12}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4x - 8 - 3x - 6 + 12}{x^2 - 4} = \frac{x - 2}{x^2 - 4} \] 2) Сократим полученную дробь: \[ \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2} \] 3) Подставим значение \(x = 2\): \[ \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} = 0,25 \] Примечание: При \(x = 2\) исходное выражение не имеет смысла, так как знаменатели обращаются в ноль. Если в условии опечатка и \(x\) равен другому числу, подставьте его в итоговую формулу \(\frac{1}{x + 2}\). № 3. Решите уравнение а) \(5(4 - 2y) = 2(5y - 10)\) Решение: Раскроем скобки: \[ 20 - 10y = 10y - 20 \] Перенесем слагаемые с \(y\) в одну сторону, а числа в другую: \[ -10y - 10y = -20 - 20 \] \[ -20y = -40 \] \[ y = \frac{-40}{-20} \] \[ y = 2 \] б) \(\frac{2x - 1}{3x + 5} = \frac{2}{5}\) Решение: Используем основное свойство пропорции (крест-накрест): \[ 5(2x - 1) = 2(3x + 5) \] \[ 10x - 5 = 6x + 10 \] \[ 10x - 6x = 10 + 5 \] \[ 4x = 15 \] \[ x = 3,75 \] № 4. Постройте график функции а) \(y = -2x + 1\) Это линейная функция, графиком является прямая. Для построения достаточно двух точек: 1) Если \(x = 0\), то \(y = -2 \cdot 0 + 1 = 1\). Точка (0; 1). 2) Если \(x = 2\), то \(y = -2 \cdot 2 + 1 = -3\). Точка (2; -3). Проведите прямую через эти точки. б) \(y = -\frac{6}{x}\) Это обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная во II и IV четвертях. Составим таблицу значений: 1) \(x = 1, y = -6\) 2) \(x = 2, y = -3\) 3) \(x = 3, y = -2\) 4) \(x = 6, y = -1\) 5) \(x = -1, y = 6\) 6) \(x = -2, y = 3\) 7) \(x = -3, y = 2\) 8) \(x = -6, y = 1\) Отметьте точки на координатной плоскости и соедините их плавными линиями.