Решите уравнение (304–305):
304.
а) \(x^3 + 5x^2 + 6x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x^2 + 5x + 6) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, \(x = 0\) или \(x^2 + 5x + 6 = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 5x + 6 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\)
Найдем корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = -2\), \(x = -3\).
Ответ: \(0; -2; -3\).
б) \(x^3 - 4x^2 + 3x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 4x + 3) = 0\)
Значит, \(x = 0\) или \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 3\), \(x = 1\).
Ответ: \(0; 1; 3\).
в) \(x^4 = 2x^3 + 3x^2\)
Перенесем все слагаемые в левую часть: \(x^4 - 2x^3 - 3x^2 = 0\)
Вынесем \(x^2\) за скобки: \(x^2(x^2 - 2x - 3) = 0\)
Значит, \(x^2 = 0\) или \(x^2 - 2x - 3 = 0\).
Из \(x^2 = 0\) получаем \(x = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 3\), \(x = -1\).
Ответ: \(0; -1; 3\).
г) \(10x^2 = x^4 + 3x^3\)
Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы старший коэффициент был положительным, или в левую и умножим на -1: \(0 = x^4 + 3x^3 - 10x^2\) \(x^4 + 3x^3 - 10x^2 = 0\)
Вынесем \(x^2\) за скобки: \(x^2(x^2 + 3x - 10) = 0\)
Значит, \(x^2 = 0\) или \(x^2 + 3x - 10 = 0\).
Из \(x^2 = 0\) получаем \(x = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 3x - 10 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -5\).
Ответ: \(0; 2; -5\).
д) \(x^3 - 4x^2 = x\)
Перенесем \(x\) в левую часть: \(x^3 - 4x^2 - x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 4x - 1) = 0\)
Значит, \(x = 0\) или \(x^2 - 4x - 1 = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x - 1 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5}\) \(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}\)
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 2 + \sqrt{5}\), \(x = 2 - \sqrt{5}\).
Ответ: \(0; 2 + \sqrt{5}; 2 - \sqrt{5}\).
е) \(x^3 + x = 2x^2\)
Перенесем \(2x^2\) в левую часть: \(x^3 - 2x^2 + x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 2x + 1) = 0\)
Заметим, что \(x^2 - 2x + 1\) это квадрат разности: \((x - 1)^2\). Значит, \(x(x - 1)^2 = 0\).
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \((x - 1)^2 = 0\).
Из \((x - 1)^2 = 0\) получаем \(x - 1 = 0\), то есть \(x = 1\).
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 1\). (Корень \(x=1\) имеет кратность 2).
Ответ: \(0; 1\).
ж) \(x^5 + x^3 = x^4\)
Перенесем \(x^4\) в левую часть: \(x^5 - x^4 + x^3 = 0\)
Вынесем \(x^3\) за скобки: \(x^3(x^2 - x + 1) = 0\)
Значит, \(x^3 = 0\) или \(x^2 - x + 1 = 0\).
Из \(x^3 = 0\) получаем \(x = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 - x + 1 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\)
Так как \(D < 0\), квадратное уравнение \(x^2 - x + 1 = 0\) не имеет действительных корней.
Итак, корень уравнения: \(x = 0\).
Ответ: \(0\).
з) \((x - 3)^2 x = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \((x - 3)^2 = 0\) или \(x = 0\).
Из \((x - 3)^2 = 0\) получаем \(x - 3 = 0\), то есть \(x = 3\).
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 3\).
Ответ: \(0; 3\).
305.
а) \((2x + 3)(2x + 5) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(2x + 3 = 0\) или \(2x + 5 = 0\).
Решим первое уравнение: \(2x + 3 = 0\) \(2x = -3\) \(x = -\frac{3}{2}\) \(x = -1.5\)
Решим второе уравнение: \(2x + 5 = 0\) \(2x = -5\) \(x = -\frac{5}{2}\) \(x = -2.5\)
Ответ: \(-1.5; -2.5\).
б) \((3x - 7)(4 - 3x) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(3x - 7 = 0\) или \(4 - 3x = 0\).
Решим первое уравнение: \(3x - 7 = 0\) \(3x = 7\) \(x = \frac{7}{3}\)
Решим второе уравнение: \(4 - 3x = 0\) \(4 = 3x\) \(x = \frac{4}{3}\)
Ответ: \(\frac{7}{3}; \frac{4}{3}\).
в) \((5 - x)(3x + 2) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(5 - x = 0\) или \(3x + 2 = 0\).
Решим первое уравнение: \(5 - x = 0\) \(5 = x\) \(x = 5\)
Решим второе уравнение: \(3x + 2 = 0\) \(3x = -2\) \(x = -\frac{2}{3}\)
Ответ: \(5; -\frac{2}{3}\).
г) \((7 - x)(6 - 9x) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(7 - x = 0\) или \(6 - 9x = 0\).
Решим первое уравнение: \(7 - x = 0\) \(7 = x\) \(x = 7\)
Решим второе уравнение: \(6 - 9x = 0\) \(6 = 9x\) \(x = \frac{6}{9}\) \(x = \frac{2}{3}\)
Ответ: \(7; \frac{2}{3}\).
д) \((2x - 3)(x^2 + 3x + 2) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(2x - 3 = 0\) или \(x^2 + 3x + 2 = 0\).
Решим первое уравнение: \(2x - 3 = 0\) \(2x = 3\) \(x = \frac{3}{2}\) \(x = 1.5\)
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 3x + 2 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
Итак, корни уравнения: \(x = 1.5\), \(x = -1\), \(x = -2\).
Ответ: \(1.5; -1; -2\).
е) \((x^2 - 5x + 6)(3x - 2) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 - 5x + 6 = 0\) или \(3x - 2 = 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Решим второе уравнение: \(3x - 2 = 0\) \(3x = 2\) \(x = \frac{2}{3}\)
Итак, корни уравнения: \(x = 3\), \(x = 2\), \(x = \frac{2}{3}\).
Ответ: \(3; 2; \frac{2}{3}\).
ж) \((x^2 + 1)(x^2 + 5x + 6) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 + 1 = 0\) или \(x^2 + 5x + 6 = 0\).
Решим первое уравнение: \(x^2 + 1 = 0\) \(x^2 = -1\) Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 5x + 6 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Итак, корни уравнения: \(x = -2\), \(x = -3\).
Ответ: \(-2; -3\).
з) \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Заметим, что \(x^2 - 6x + 9\) это квадрат разности: \((x - 3)^2\). Значит, \(x(x - 3)^2 = 0\).
Из \((x - 3)^2 = 0\) получаем \(x - 3 = 0\), то есть \(x = 3\).
Итак, корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 3\). (Корень \(x=3\) имеет кратность 2).
Ответ: \(0; 3\).
и) \((x^2 + 2x + 1)(x^2 - 5x + 7) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 + 2x + 1 = 0\) или \(x^2 - 5x + 7 = 0\).
Решим первое уравнение: \(x^2 + 2x + 1 = 0\) Это квадрат суммы: \((x + 1)^2 = 0\). Значит, \(x + 1 = 0\), откуда \(x = -1\).
Решим второе уравнение \(x^2 - 5x + 7 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3\)
Так как \(D < 0\), квадратное уравнение \(x^2 - 5x + 7 = 0\) не имеет действительных корней.
Итак, корень уравнения: \(x = -1\).
Ответ: \(-1\).
к) \((x^2 - 3x + 1)(x^2 - 4x + 4) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 - 3x + 1 = 0\) или \(x^2 - 4x + 4 = 0\).
Решим первое уравнение \(x^2 - 3x + 1 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)
Решим второе уравнение: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) Это квадрат разности: \((x - 2)^2 = 0\). Значит, \(x - 2 = 0\), откуда \(x = 2\).
Итак, корни уравнения: \(x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\), \(x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\), \(x = 2\).
Ответ: \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 2\).
л) \((x^2 - 3x + 1)(x^2 + 4x - 3) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 - 3x + 1 = 0\) или \(x^2 + 4x - 3 = 0\).
Решим первое уравнение \(x^2 - 3x + 1 = 0\). (Мы уже решали его в пункте "к") \(D = 5\) \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)
Решим второе уравнение \(x^2 + 4x - 3 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28\)
Найдем корни: \(x_3 = \frac{-4 + \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{2} = -2 + \sqrt{7}\) \(x_4 = \frac{-4 - \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2\sqrt{7}}{2} = -2 - \sqrt{7}\)
Итак, корни уравнения: \(x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\), \(x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\), \(x = -2 + \sqrt{7}\), \(x = -2 - \sqrt{7}\).
Ответ: \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; -2 + \sqrt{7}; -2 - \sqrt{7}\).
м) \((x^2 + 5x + 1)(x^2 - x + 6) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 + 5x + 1 = 0\) или \(x^2 - x + 6 = 0\).
Решим первое уравнение \(x^2 + 5x + 1 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21\)
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}\) \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}\)
Решим второе уравнение \(x^2 - x + 6 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23\)
Так как \(D < 0\), квадратное уравнение \(x^2 - x + 6 = 0\) не имеет действительных корней.
Итак, корни уравнения: \(x = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}\), \(x = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}\).
Ответ: \(\frac{-5 + \sqrt{21}}{2}; \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}\).
н) \((x^2 + 1)(x^2 - 2x + 7) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 + 1 = 0\) или \(x^2 - 2x + 7 = 0\).
Решим первое уравнение: \(x^2 + 1 = 0\) \(x^2 = -1\) Это уравнение не имеет действительных корней.
Решим второе уравнение \(x^2 - 2x + 7 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24\)
Так как \(D < 0\), квадратное уравнение \(x^2 - 2x + 7 = 0\) не имеет действительных корней.
Итак, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Нет корней.
о) \((x^2 - 3)(x^2 - 4x + 4) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x^2 - 3 = 0\) или \(x^2 - 4x + 4 = 0\).
Решим первое уравнение: \(x^2 - 3 = 0\) \(x^2 = 3\) \(x = \pm\sqrt{3}\)
Решим второе уравнение: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) Это квадрат разности: \((x - 2)^2 = 0\). Значит, \(x - 2 = 0\), откуда \(x = 2\).
Итак, корни уравнения: \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\), \(x = 2\).
Ответ: \(\sqrt{3}; -\sqrt{3}; 2\).
306. Исследуем. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \((x - 1)(x^2 - 6x + a) = 0\) имеет ровно два корня.
Уравнение \((x - 1)(x^2 - 6x + a) = 0\) распадается на два уравнения: 1) \(x - 1 = 0\) 2) \(x^2 - 6x + a = 0\)
Из первого уравнения мы сразу получаем один корень: \(x_1 = 1\).
Теперь рассмотрим второе уравнение: \(x^2 - 6x + a = 0\). Это квадратное уравнение. Количество его корней зависит от дискриминанта \(D\). \(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 36 - 4a\).
Нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня. Возможны следующие случаи:
Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень, и этот корень не равен 1. Это происходит, когда \(D = 0\). \(36 - 4a = 0\) \(36 = 4a\) \(a = \frac{36}{4}\) \(a = 9\)
При \(a = 9\), квадратное уравнение становится \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Это \((x - 3)^2 = 0\), откуда \(x = 3\). Этот корень \(x = 3\) не равен корню \(x_1 = 1\). В этом случае, исходное уравнение имеет корни \(x = 1\) и \(x = 3\). То есть ровно два корня. Значит, \(a = 9\) является одним из искомых значений.
Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня, и один из этих корней равен 1. Это происходит, когда \(D > 0\). \(36 - 4a > 0\) \(36 > 4a\) \(a < 9\)
Если один из корней квадратного уравнения \(x^2 - 6x + a = 0\) равен 1, то при подстановке \(x = 1\) в это уравнение оно должно обратиться в верное равенство: \(1^2 - 6 \cdot 1 + a = 0\) \(1 - 6 + a = 0\) \(-5 + a = 0\) \(a = 5\)
Проверим это значение \(a = 5\). При \(a = 5\), квадратное уравнение становится \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Найдем его корни: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\) \(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}\) \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\) \(x_3 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
В этом случае, корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\) это \(x = 5\) и \(x = 1\). Исходное уравнение \((x - 1)(x^2 - 6x + 5) = 0\) имеет корни: Из \(x - 1 = 0\) получаем \(x = 1\). Из \(x^2 - 6x + 5 = 0\) получаем \(x = 5\) и \(x = 1\). Таким образом, уникальные корни исходного уравнения: \(x = 1\) и \(x = 5\). То есть ровно два корня. Значит, \(a = 5\) является вторым искомым значением.
Случай 3: Квадратное уравнение имеет два различных корня, и ни один из них не равен 1. В этом случае исходное уравнение будет иметь три различных корня (1 и два корня из квадратного уравнения), что не соответствует условию.
Случай 4: Квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит, когда \(D < 0\). \(36 - 4a < 0\) \(36 < 4a\) \(a > 9\) В этом случае исходное уравнение будет иметь только один корень \(x = 1\), что не соответствует условию.
Итак, значения \(a\), при которых уравнение имеет ровно два корня, это \(a = 9\) и \(a = 5\).
Ответ: \(a = 5; 9\).