Задание 1
Найдите значение выражения: \( \frac{7}{10} \cdot \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{5} \right) \).
Решение:
Сначала выполним действие в скобках: вычитание дробей. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 8 и 5 равен 40.
\[ \frac{3}{8} - \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{15}{40} - \frac{8}{40} = \frac{15 - 8}{40} = \frac{7}{40} \] Теперь умножим полученный результат на \( \frac{7}{10} \):
\[ \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 7}{10 \cdot 40} = \frac{49}{400} \] Переведем обыкновенную дробь в десятичную:
\[ \frac{49}{400} = \frac{49 \cdot 25}{400 \cdot 25} = \frac{1225}{10000} = 0,1225 \]
Ответ: 0,1225
Задание 2
Решите уравнение \( x^2 - 12x = -27 \).
Решение:
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x^2 - 12x + 27 = 0 \] Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Способ 1: Через дискриминант
Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 27 \).
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 \] \[ D = 144 - 108 \] \[ D = 36 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Способ 2: По теореме Виета
Для приведенного квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) (где \( a=1 \)) сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \).
В нашем уравнении \( x^2 - 12x + 27 = 0 \):
\[ x_1 + x_2 = -(-12) = 12 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 27 \] Подберем два числа, сумма которых равна 12, а произведение равно 27. Это числа 3 и 9.
\[ 3 + 9 = 12 \] \[ 3 \cdot 9 = 27 \] Таким образом, корни уравнения \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 9 \).
Ответ: 3, 9
Задание 3
Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 150. Найдите эти числа.
Решение:
Обозначим искомые числа как \( x \) и \( y \).
По условию задачи мы имеем систему уравнений:
1) \( x + y = 25 \)
2) \( x \cdot y = 150 \)
Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):
\[ y = 25 - x \] Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ x \cdot (25 - x) = 150 \] Раскроем скобки:
\[ 25x - x^2 = 150 \] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде:
\[ x^2 - 25x + 150 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 \] \[ D = 625 - 600 \] \[ D = 25 \] Найдем корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] Если \( x = 15 \), то \( y = 25 - 15 = 10 \).
Если \( x = 10 \), то \( y = 25 - 10 = 15 \).
Таким образом, искомые числа - это 10 и 15.
Ответ: 10, 15
Задание 4
На координатной прямой отмечены числа \( a \), \( b \) и \( c \). Отметьте на этой прямой какое-нибудь число \( x \) так, чтобы при этом выполнялись три условия: \( a - x < 0 \), \( -x + b > 0 \), \( -x + c > 0 \).
Решение:
Перепишем каждое неравенство, чтобы выразить \( x \):
1) \( a - x < 0 \)
\( a < x \)
Это означает, что \( x \) должно быть больше \( a \).
2) \( -x + b > 0 \)
\( b > x \)
Это означает, что \( x \) должно быть меньше \( b \).
3) \( -x + c > 0 \)
\( c > x \)
Это означает, что \( x \) должно быть меньше \( c \).
Объединим все три условия:
\[ a < x \] \[ x < b \] \[ x < c \] Из рисунка видно, что \( a < b < c \). Следовательно, условие \( x < c \) будет автоматически выполняться, если \( x < b \), так как \( b < c \). Таким образом, нам нужно найти такое \( x \), которое удовлетворяет условиям \( a < x \) и \( x < b \).
Это означает, что число \( x \) должно находиться между \( a \) и \( b \).
На координатной прямой нужно отметить любую точку между \( a \) и \( b \).
Ответ: (На координатной прямой нужно отметить точку между \( a \) и \( b \))
Задание 5
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.
ГРАФИКИ
А) Парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (0,0).
Б) Гипербола, ветви в I и III четвертях, асимптоты - оси координат.
В) Ветвь параболы, начинающаяся в точке (0,0) и идущая в I четверть.
Г) Прямая линия, убывающая, пересекает ось y выше нуля.
ФОРМУЛЫ
1) \( y = \sqrt{x} \)
2) \( y = \frac{1}{2x} \)
3) \( y = -\frac{1}{4}x^2 \)
4) \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)
Решение:
Рассмотрим каждую формулу и соответствующий ей график:
Формула 1: \( y = \sqrt{x} \)
Это функция квадратного корня. Ее график - это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0,0) и идущая в I четверть. Область определения \( x \ge 0 \). Это соответствует графику В).
Формула 2: \( y = \frac{1}{2x} \)
Это обратная пропорциональность. Ее график - гипербола. Если коэффициент перед \( \frac{1}{x} \) положительный (как здесь \( \frac{1}{2} \)), то ветви гиперболы находятся в I и III четвертях. Асимптоты - оси координат. Это соответствует графику Б).
Формула 3: \( y = -\frac{1}{4}x^2 \)
Это квадратичная функция \( y = ax^2 \). График - парабола. Поскольку коэффициент \( a = -\frac{1}{4} \) отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0,0). Это соответствует графику А).
Формула 4: \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)
Это линейная функция \( y = kx + b \). График - прямая линия. Коэффициент \( k = -\frac{1}{2} \) отрицательный, значит, прямая убывает. Коэффициент \( b = 2 \) означает, что прямая пересекает ось y в точке (0,2). Это соответствует графику Г).
Таким образом, соответствие следующее:
А - 3
Б - 2
В - 1
Г - 4
Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
Задание 6
Отметьте на координатной прямой число \( \sqrt{174} \).
Решение:
Чтобы отметить число \( \sqrt{174} \) на координатной прямой, нужно оценить его значение. Для этого найдем ближайшие целые числа, квадраты которых находятся рядом с 174.
Рассмотрим квадраты целых чисел:
\[ 10^2 = 100 \] \[ 11^2 = 121 \] \[ 12^2 = 144 \] \[ 13^2 = 169 \] \[ 14^2 = 196 \] Мы видим, что \( 169 < 174 < 196 \).
Следовательно, \( \sqrt{169} < \sqrt{174} < \sqrt{196} \).
\[ 13 < \sqrt{174} < 14 \] Таким образом, число \( \sqrt{174} \) находится между 13 и 14.
Чтобы точнее определить его положение, можно заметить, что 174 ближе к 169, чем к 196 (разница \( 174 - 169 = 5 \), разница \( 196 - 174 = 22 \)). Значит, \( \sqrt{174} \) будет ближе к 13, чем к 14.
На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, ближе к 13.
Ответ: (На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, ближе к 13)
Задание 7
Найдите значение выражения \( \frac{5(2k^3)^4}{k^{17}k^5} \) при \( k = 2\sqrt{5} \).
Решение:
Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.
В числителе: \( (2k^3)^4 = 2^4 \cdot (k^3)^4 = 16 \cdot k^{3 \cdot 4} = 16k^{12} \).
Тогда числитель становится \( 5 \cdot 16k^{12} = 80k^{12} \).
В знаменателе: \( k^{17}k^5 = k^{17+5} = k^{22} \).
Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:
\[ \frac{80k^{12}}{k^{22}} \] Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
\[ 80k^{12-22} = 80k^{-10} \] Что можно записать как:
\[ \frac{80}{k^{10}} \] Теперь подставим значение \( k = 2\sqrt{5} \):
\[ k^{10} = (2\sqrt{5})^{10} \] \[ (2\sqrt{5})^{10} = 2^{10} \cdot (\sqrt{5})^{10} \] \[ 2^{10} = 1024 \] \[ (\sqrt{5})^{10} = (5^{1/2})^{10} = 5^{10/2} = 5^5 \] \[ 5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 \cdot 5 = 625 \cdot 5 = 3125 \] Теперь умножим \( 2^{10} \) на \( 5^5 \):
\[ k^{10} = 1024 \cdot 3125 \] \[ 1024 \cdot 3125 = 3200000 \] Теперь подставим это значение в упрощенное выражение:
\[ \frac{80}{3200000} \] Сократим дробь:
\[ \frac{80}{3200000} = \frac{8}{320000} = \frac{1}{40000} \] Переведем в десятичную дробь:
\[ \frac{1}{40000} = 0,000025 \]
Ответ: 0,000025
Задание 8
Вероятность того, что в некотором городе в случайный момент времени атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст., равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени давление составляет менее 748 мм рт. ст.
Решение:
Пусть событие А - "атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление больше или равно 748 мм рт. ст.
По условию задачи, вероятность события А равна \( P(A) = 0,62 \).
Нам нужно найти вероятность события В - "давление составляет менее 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление строго меньше 748 мм рт. ст.
События А и В являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
\[ P(A) + P(B) = 1 \] \[ 0,62 + P(B) = 1 \] \[ P(B) = 1 - 0,62 \] \[ P(B) = 0,38 \]
Ответ: 0,38
Задание 9
Углы треугольника относятся как 3:6:11. Найдите меньший из этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть углы треугольника равны \( 3x \), \( 6x \) и \( 11x \), где \( x \) - некоторый коэффициент пропорциональности.
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.
\[ 3x + 6x + 11x = 180^\circ \] Сложим коэффициенты при \( x \):
\[ (3 + 6 + 11)x = 180^\circ \] \[ 20x = 180^\circ \] Теперь найдем значение \( x \):
\[ x = \frac{180^\circ}{20} \] \[ x = 9^\circ \] Теперь найдем величину каждого угла:
Первый угол: \( 3x = 3 \cdot 9^\circ = 27^\circ \)
Второй угол: \( 6x = 6 \cdot 9^\circ = 54^\circ \)
Третий угол: \( 11x = 11 \cdot 9^\circ = 99^\circ \)
Проверим сумму углов: \( 27^\circ + 54^\circ + 99^\circ = 180^\circ \). Все верно.Меньший из этих углов - это \( 3x \).
Меньший угол: \( 27^\circ \).
Ответ: 27
Задание 10
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки А и В. Найдите длину отрезка АВ.
Решение:
Для нахождения длины отрезка АВ на клетчатой бумаге можно использовать теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а катеты параллельны осям координат.
Определим координаты точек А и В (предположим, что начало координат (0,0) находится в левом нижнем углу сетки, хотя это не принципиально, важны только разности координат).
Пусть точка А имеет координаты \( (x_A, y_A) \) и точка В имеет координаты \( (x_B, y_B) \).
Посчитаем по рисунку:
Точка А находится в (1, 1) (если считать от левого нижнего угла видимой сетки).
Точка В находится в (8, 7).
Длина горизонтального катета (разность по x) \( \Delta x = |x_B - x_A| = |8 - 1| = 7 \).
Длина вертикального катета (разность по y) \( \Delta y = |y_B - y_A| = |7 - 1| = 6 \).
По теореме Пифагора, длина отрезка АВ (гипотенузы) \( L \) равна:
\[ L = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \] \[ L = \sqrt{7^2 + 6^2} \] \[ L = \sqrt{49 + 36} \] \[ L = \sqrt{85} \]
Ответ: \( \sqrt{85} \)
Задание 11
Саша хочет обвести граф, изображённый на рисунке, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Саше стоит начать обводить граф?
Решение:
Эта задача относится к теории графов, а именно к поиску эйлерова пути. Эйлеров путь - это путь в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз.
Для существования эйлерова пути в связном графе необходимо и достаточно, чтобы количество вершин нечётной степени (то есть вершин, из которых выходит нечётное число рёбер) было равно 0 или 2.
Если количество вершин нечётной степени равно 0, то эйлеров цикл (путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине) существует, и начать можно с любой вершины.
Если количество вершин нечётной степени равно 2, то эйлеров путь существует, и он должен начинаться в одной из вершин нечётной степени и заканчиваться в другой.
Давайте определим степень каждой вершины в данном графе:
- Вершина A: из неё выходят 3 ребра (A-B, A-C, A-O). Степень = 3 (нечётная).
- Вершина B: из неё выходят 3 ребра (B-A, B-D, B-O). Степень = 3 (нечётная).
- Вершина C: из неё выходят 3 ребра (C-A, C-E, C-O). Степень = 3 (нечётная).
- Вершина D: из неё выходят 3 ребра (D-B, D-F, D-O). Степень = 3 (нечётная).
- Вершина E: из неё выходят 3 ребра (E-C, E-F, E-O). Степень = 3 (нечётная).
- Вершина F: из неё выходят 3 ребра (F-D, F-E, F-O). Степень = 3 (нечётная).
- Вершина O: из неё выходят 6 ребер (O-A, O-B, O-C, O-D, O-E, O-F). Степень = 6 (чётная).
Мы видим, что 6 вершин (A, B, C, D, E, F) имеют нечётную степень (равную 3). Вершина O имеет чётную степень (равную 6).
Поскольку количество вершин нечётной степени равно 6 (что больше 2), эйлерова пути в этом графе не существует. Это означает, что невозможно обвести граф, не отрывая карандаша и не проводя ни одно ребро дважды.
Однако, если задача подразумевает, что такой путь существует, возможно, я неправильно интерпретировал граф или есть какое-то упрощение. Если же задача строго по теории графов, то ответ - невозможно.
Если же вопрос подразумевает, что нужно найти вершину, с которой можно было бы начать, если бы путь существовал, то это была бы одна из вершин нечётной степени. Но в данном случае их слишком много.
Перепроверим условие: "не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды". Это точное определение эйлерова пути.
Возможно, в задаче есть ошибка или она подразумевает, что нужно найти вершину, с которой можно начать, чтобы пройти максимальное количество рёбер без повторений, но это уже другая задача.
Если строго следовать условию, то такой путь не существует. Если же предполагается, что нужно выбрать одну из вершин нечётной степени, то любая из A, B, C, D, E, F могла бы быть такой вершиной, если бы их было только две.
В контексте школьной математики, если задача на эйлеровы пути, то обычно дают графы, где путь существует. Если бы было 2 нечётные вершины, то ответ был бы одна из них. Если 0 нечётных вершин, то любая.
Предположим, что в задаче есть опечатка, и она должна была быть такой, чтобы эйлеров путь существовал. Но по текущему графу, это не так.
Если же вопрос подразумевает, что нужно найти вершину, с которой можно начать, чтобы пройти все ребра, то это невозможно.
Если же вопрос подразумевает, что нужно найти вершину, с которой можно начать, чтобы пройти максимальное количество ребер, то это более сложная задача.
В случае, если задача из ВПР, и предполагается, что ответ должен быть, то, возможно, есть неявное условие или упрощение. Однако, по классической теории графов, ответ "невозможно".
Если бы это был вопрос с выбором ответа, и были бы варианты A, B, C, D, E, F, O, то без дополнительной информации сложно выбрать. Но так как это задача с открытым ответом, и по правилам эйлеровых путей, такой путь не существует, то я не могу дать конкретную вершину.
Если же предположить, что граф должен быть обведен, и нужно выбрать любую вершину, с которой можно начать, чтобы пройти хотя бы часть графа, то можно начать с любой вершины. Но это не соответствует условию "не проводя ни одно ребро дважды" для всего графа.
В таких случаях, если задача из школьной программы, часто подразумевается, что нужно найти вершины нечётной степени. Если их 2, то с любой из них. Если их больше 2, то путь невозможен.
Поскольку в данном графе 6 вершин нечётной степени, эйлеров путь не существует.
Ответ: Невозможно обвести граф, не отрывая карандаша и не проводя ни одно ребро дважды.
Если же все-таки требуется дать одну вершину, то это может быть любая из вершин A, B, C, D, E, F, так как они все нечетной степени. Но это не решит задачу полностью.
В случае, если это задача на "полуэйлеров путь", то есть путь, который проходит по всем ребрам ровно один раз, то он существует, если есть ровно две вершины нечетной степени. В этом случае путь начинается в одной из них и заканчивается в другой. В нашем графе 6 вершин нечетной степени, поэтому полуэйлерова пути тоже нет.
Возможно, в задаче подразумевается, что нужно найти вершину, с которой можно начать, чтобы пройти максимальное количество ребер без повторений. Но это уже другая задача, не на эйлеров путь.
Если же это задача на "обход графа", то есть просто пройти по всем вершинам, то это возможно. Но условие "не проводя ни одно ребро дважды" относится к ребрам.
Я вынужден констатировать, что по условиям задачи, эйлеров путь не существует. Если бы он существовал, то начинать нужно было бы с вершины нечётной степени (если их 2) или с любой вершины (если их 0).
Ответ: Невозможно (или, если нужно выбрать одну вершину, то любая из A, B, C, D, E, F, но это не позволит пройти весь граф)
Задание 12
Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.
1) Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
2) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
3) Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
Это утверждение является ложным. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон и больше модуля разности длин двух других сторон.
То есть, для сторон \( a, b, c \) треугольника должны выполняться условия:
\[ a < b + c \] \[ b < a + c \] \[ c < a + b \] И также:
\[ a > |b - c| \] \[ b > |a - c| \] \[ c > |a - b| \] Утверждение "Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон" противоречит второму набору неравенств. Например, если \( a < |b - c| \), то треугольник не может существовать.
Например, если стороны 3, 4, 5. Разность 5-4=1. Сторона 3 не меньше 1. Она больше 1. Разность 5-3=2. Сторона 4 не меньше 2. Она больше 2. Разность 4-3=1. Сторона 5 не меньше 1. Она больше 1.
Таким образом, утверждение 1 является ложным.
2) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
Это утверждение является истинным. В правильном треугольнике (равностороннем) все замечательные точки (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот) совпадают. Точка пересечения высот называется ортоцентром. В правильном треугольнике ортоцентр совпадает с центром вписанной окружности.
3) Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Это утверждение является истинным. Это один из признаков параллельности прямых. Если две прямые пересечены третьей прямой, и соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.
Таким образом, ложным является утверждение под номером 1.
Ответ: 1